分块计算

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本文介绍了一道ACM竞赛题目中涉及的大规模模数计算问题及其解决方法。通过预处理和分段计算的方式避免了直接使用快速幂运算带来的效率问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：http://acm.upc.edu.cn/problem.php?id=2219

题意：

It's easy for ACMer to calculate A^X mod P. Now given seven integers n, A, K, a, b, m, P, and a

function f(x) which defined as following.

f(x) = K, x = 1

f(x) = (a*f(x-1) + b)%m , x > 1

Now, Your task is to calculate

( A^(f(1)) + A^(f(2)) + A^(f(3)) + ...... + A^(f(n)) ) modular P.

本题有点技巧，不要直接快速幂运算，这里要分两部分，详见代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL f[1000005];
LL x1[1000005];
LL x2[1000005];

LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=ans*a%m;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%m;
    }
    return ans;
}

LL multi(LL n,LL p)
{
    return x1[n/50000]*x2[n%50000]%p;
}

int main()
{
    LL t,n,A,K,a,b,m,p,tt=1;
    LL ans;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>A>>K>>a>>b>>m>>p;
        A%=p;a%=m;b%=m;
        f[1]=K;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            f[i]=(f[i-1]%m*a%m+(b%m))%m;
        LL val=quick_mod(A,50000,p);
        x1[0]=1;
        for(int i=1;i<50001;i++)
            x1[i]=(val%p)*x1[i-1]%p;
        x2[0]=1;
        for(int i=1;i<50001;i++)
            x2[i]=(A%p)*x2[i-1]%p;
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ans+=multi(f[i],p);
            ans%=p;
        }
        cout<<"Case #"<<tt++<<": ";
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}