越狱计划之背包初步--01背包

最新推荐文章于 2025-03-02 21:23:52 发布

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本文详细介绍了01背包问题的基本概念及解决方法，包括状态转移方程、空间优化技巧、dp数组初始化策略及时间优化手段，并通过一道具体题目进行实践演示。

今天早晨阅读了dd大神发布背包九讲之中的01背包，收获很大，讲解了01背包的重要基本思想和状态更改的由来。和我去年第一次遇到背包时的盲目相比这次阅读下来完全不同。感谢dd大神为众多ACMer提供整理这珍贵的资料。

用一道题目来描述一下今天早晨学到的01背包。基础性01背包是这样的，有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 vi[i] ,价值是 wi[i] 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

于是我拿出去年寒假训练计划的一道01背包基础题目帮助我自己或者不太理解的人梳理一下，希望可以做到容易理解，方便阅读。

题目 SDUTOJ 2825:
小P寻宝记——粗心的基友
题目描述
小p和小q这对好基友他们在经历无数的艰难险阻后，终于找到了宝藏。无奈的是这一对好基友竟然是一样的粗心，又忘记了带一个大一点的包包，可惜啊、、所以选择出现了啊。
已知包的体积是v，每种宝贝只有一种，宝贝的体积是pi，价值是wi。求出这对粗心的基友可以最多带走价值多少的宝藏。
输入
输入数据有多组。
每组第一行有两个正整数n(n <= 10000)和v(v <= 10000)分别表示n种宝贝和包的体积。接下来n行，每行有两个正整数vi， wi。
分别表示每种宝藏的体积vi （vi<=1000）,价值wi(wi<=1000)。
输出
这对基友所能带走的最多的宝藏。
示例输入
5 10
1 5
2 4
3 3
4 2
5 1
示例输出
14

/*************************************************************/

最基础未经变种的01背包大约有4个地方需要学习和注意，所以将注意点分为4点来说。

1、背包问题
01背包之所以叫01背包是因为背包大小固定，可以放进去的物品固定，每种物品仅仅有两种状态可以选择，当然是放或不放，对应来说也就是0或者1.拿上面这道题目来看，题目是要求回答背包中最终所能装下的最大价值。换种说法就是无论背包有没有装满，只要价值最大就可以。那么我们就可以考虑，假设将背包的边界设为0，于是问题转化为考虑将第i件物品放入容量为v的背包中，第i件物品如果放入背包那便是“前i-1件物品放入剩下的容量为v-vi[i]的背包中”，如果不放那便是“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，那么便可以得到01背包的状态转移方程。

dp[i][v] = max( dp[ i-1 ][v],dp[ i-1 ][ v-vi[i] + wi[i]] );

2、背包问题的空间优化
对于基础背包来讲我们可以优化dp的空间复杂度，由二维转化为一维问题来解决。从上面的方程来看dp[i][v]是由dp[i-1][v]和dp[i-1][v-wi[i]]两个子问题递推而来，那我们只需保证在递推dp[i][v]时能够得到dp[i-1][v]和dp[i-1][v-wi[i]]的值。所以根据背包问题的递推原理，可以这样来实现。

for(int i = 1;i <= n ; i++)  
{  
    for(int j = v ; j >= 0 ; j--)  
    {  
          if(j >= vi[i])  
              dp[j] = max( dp[j],dp[j - vi[i]] + wi[i] );  
    }  
}

3、背包问题的dp数组初始化
在上面我们说道包括这道题目无论背包有没有装满，只要价值最大就可以。而有时还会出现问题要求回答当背包恰好装满的最大价值为多少。解决方式为在初始化dp数组时处理的不同。
[1]问题为无论背包物品多少，要求价值最大为多少,初始化如下。

memset(dp,0,sizeof(dp));

[2]问题为无论背包物品恰好装满背包，价值最大为多少,初始化如下。

#define INF 0x3f3f3f3f;
memset(dp, -INF ,sizeof( dp ));
dp[0] = 0;

这样做的原因可以这样理解。当要求背包恰好装满时，那么仅有背包容量为0的背包可以装满了，其他的都是装不满的也没有合适的解答，所以为-∞。如果不要求背包装不装满那就可以将所有背包的重量统一为0就可以。

4、背包问题的更改时间优化。
上面的问题仅仅可以处理要求背包体积不够大时使用，而当背包很大的时候就有超时的可能。所以我们在循环中优化一下。我们求最后dp[v]时，倒推前一个物品,其实只要知道 f[v-wi[n]] 即可以此类推,对以
第j个背包,其实只需要知道到dp[v − (∑(n->j)wi[i])]即可.下面我会给出优化之前的代码和优化之后的代码。

上面SDUTOJ 2825 小P寻宝记——粗心的基友的代码

由基本解法未经[4]优化

// Time: 770MS 
// Memory: 584KB 
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <map>
#include <set>
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int M = 10010;
using namespace std;

int vi[M],wi[M],dp[M];

int main()
{
    int n,v;
    while(~scanf("%d %d",&n,&v))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化dp数组
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d %d",&vi[i],&wi[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=v;j>=0;j--)
            {
                if(j >= vi[i])
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-vi[i]]+wi[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[v]);
    }
    return 0;
}

经过[4]优化之后

// Time: 620MS 
// Memory: 620KB 
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <map>
#include <set>
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int M = 10010;
using namespace std;

int vi[M],wi[M],dp[M],sumwi[M];

int main()
{
    int n,v,sumw1;
    while(~scanf("%d %d",&n,&v))
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));//初始化dp数组
        for(int i=1,sumwi=0;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d %d",&vi[i],&wi[i]);
            sumw1 += wi[i];//求出1->n的总和
        }
        sumwi[1] = sumw1;
        for(int i=2;i<=n;i++)//由1递推i->n的和并附值
        {
            sumwi[i] = sumwi[i-1] - wi[i-1];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int k = max(vi[i],v-sumwi[i]);//常数优化
            for(int j=v;j>=k;j--)
            {
                if(j >= vi[i])
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-vi[i]]+wi[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[v]);
    }
    return 0;
}

完

/*再次感谢dd大神的背包九讲，以上理论知识大部分来源于背包九讲(v1.1),谢谢！*/