带修莫队

介绍带修莫队之前我们先来回顾一下莫队吧，莫队就是用来离线处理区间问题的一个算法，我们先把所有询问记录下来并对他们进行排序，然后再通过移动l和r指针来求得所有询问的答案，之所以进行排序也是为了尽可能地减少移动指针的次数，那在莫队中我们是按什么来进行排序的呢？我们是先对n进行分块，按照询问的左边界所在的块为第一关键词，右边界大小为第二关键词进行排序，这样就能够使得原文题复杂度降低为o(n^（3/2）).

下面来说一下带修莫队，容易猜到，带修莫队就是在普通莫队的基础上加上了修改操作，准确来说是单点修改操作。那加上单点修改操作后会对原来的莫队求解方法产生什么样的影响呢？在之前的莫队求解办法中对于每个询问的求解次序没有什么要求，因为原数组并不会发生变化，而现在不一样了，数组元素会发生变化，所以我们应该在每次询问中加入一个变量t，用来记录本次询问前总共对原数组进行了几次修改，然后我们在寻找答案时不仅仅是记录当前所更新到区间的左右边界，还应该记录当前已经对原数组修改的次数。带修莫队当前左右边界的更新与普通莫队并没有什么本质上的差别，而带修莫队与普通莫队的差比就体现在多加了一个修改次数的更新，比如说当前已经对原数组修改了5次值，而当前的询问之前一共修改了8次值，那我们必须要直接把剩余的三次值也进行修改，那么现在已经对原数组的值进行了8次修改，那假如我们下一次询问之前一共修改了3次值，那我们还需要再把多余的五次修改删除，这就是他们的区别，那如何把已经修改的值再修改回去呢？比如我们有一次修改是将位置为3的值修改为5，假如位置为3的值为8，那么如果进行修改就要进行 8->5，那么删除不就相当于 5->8么，也就是直接对两者进行交换就行了。下面我来说一下带修莫队的排序方式，带修莫队排序时按照询问左边界所在的块作为第一关键词，右边界所在的块作为第二关键词，询问之前更改值的次数作为第三关键词进行排序。

在进行对原数组进行修改时应该注意的问题：

（1）如果当前所要修改的位置在当前区间中，一定要考虑对结果的影响

（2）不能忘记将原数组的值与修改后的值进行交换

下面指出带修莫队和普通莫队的区别：

块的大小：普通莫队是n^(1/2)，带修莫队是n^(2/3)

排序方式：

        普通莫队：按照询问的左边界所在的块为第一关键词，右边界大小为第二关键词进行排序

        带修莫队：按照询问的左边界所在的块为第一关键词，右边界所在的块作为第二关键词，询问之前更改值的次数作为第三关键词进行排序

下面给出一道模板题：

题目链接：P1903 [国家集训队]数颜色 / 维护队列 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目是中文的，我在这就不单独说明题意了，我们之前在做普通莫队题目时遇到过类似的题目，只是没有修改操作，这个题目只是在原来的基础上加上了单点修改操作，下面给出代码，可以结合注释以及上面对带修莫队的说明好好理解一下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
//Clock[i]记录i位置所在的块 
int a[N],cnt[N],ans,sum[N],Clock[N];
struct node{
	//t记录在这个询问之前一共进行过几次修改
	int l,r,id,t;
}p[N];
//排序时按照左边界所在的块为第一关键词，按照右边界所在的块为第二关键词，按照时间为第三关键词 
bool cmp(node a,node b)
{
	if(Clock[a.l]!=Clock[b.l]) return Clock[a.l]<Clock[b.l];
	if(Clock[a.r]!=Clock[b.r]) return Clock[a.r]<Clock[b.r];
	return a.t<b.t;
}
struct Node{
	 int pos,val;
}q[N];
void add(int x)
{
	if(!cnt[x]) ans++;
	cnt[x]++;
}
void sub(int x)
{
	cnt[x]--;
	if(!cnt[x]) ans--;
}
void change(int i,int j)
{
	//如果更新操作在当前区间中，则需要考虑当前更新操作对答案的影响
	if(q[j].pos>=p[i].l&&q[j].pos<=p[i].r)
	{
		sub(a[q[j].pos]);
		add(q[j].val);
	}
	//假如本次操作是将a更改为b，则删除此次操作等价于将b更改为a 
	swap(a[q[j].pos],q[j].val);
}
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	//带修莫队按照n的（2/3）次方进行分块 
	int pl=pow(n,2.0/3.0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		Clock[i]=(i-1)/pl+1; 
	}
	int cntq=0,cntc=0;
	char op[5];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%s",op);
		if(op[0]=='Q')
		{
			cntq++;
			scanf("%d%d",&p[cntq].l,&p[cntq].r);
			p[cntq].id=cntq;
			p[cntq].t=cntc;
		}
		else
		{
			cntc++;
			scanf("%d%d",&q[cntc].pos,&q[cntc].val);
		}
	}
	sort(p+1,p+cntq+1,cmp);
	int l=1,r=0,t=0;
	for(int i=1;i<=cntq;i++)
	{
		while(l<p[i].l)		sub(a[l++]);
		while(l>p[i].l)		add(a[--l]);
		while(r<p[i].r) 	add(a[++r]);
		while(r>p[i].r) 	sub(a[r--]);
		//带修莫队特有操作 
		while(t<p[i].t) 	change(i,++t);
		while(t>p[i].t) 	change(i,t--);
		sum[p[i].id]=ans;
	}
	for(int i=1;i<=cntq;i++)
		printf("%d\n",sum[i]);
	return 0;
}