POJ2229 Sumsets

最新推荐文章于 2023-07-11 07:45:32 发布

原创最新推荐文章于 2023-07-11 07:45:32 发布 · 296 阅读

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本文探讨了如何使用特定形式的整数（即2的幂次）来表示任意整数N的所有可能组合，并提供了一种有效的算法实现。通过观察奇数和偶数情况的不同，文章提出了一种动态规划的方法来解决这个问题。

Description

Farmer John commanded his cows to search for different sets of numbers that sum to a given number. The cows use only numbers that are an integer power of 2. Here are the possible sets of numbers that sum to 7:

1) 1+1+1+1+1+1+1
2) 1+1+1+1+1+2
3) 1+1+1+2+2
4) 1+1+1+4
5) 1+2+2+2
6) 1+2+4

Help FJ count all possible representations for a given integer N (1 <= N <= 1,000,000).

Input

A single line with a single integer, N.

Output

The number of ways to represent N as the indicated sum. Due to the potential huge size of this number, print only last 9 digits (in base 10 representation).

Sample Input

Sample Output

找规律做出
多写几组数据：
1 -> 1
2 -> 2
3 -> 2
4 -> 4
5 -> 4
6 -> 6
7 -> 6
就可以看出来当ｎ为奇数,ans=sum[n-1],n为偶数时，ans=sum[n-1]+sum[n/2]

CODE

#include <stdio.h>
int sum[1000000];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {

    sum[1]=1;
    sum[2]=2;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        if(i%2!=0)
            sum[i]=sum[i-1];
        else
            sum[i]=(sum[i-2]+sum[i/2])%1000000000;
    }
    printf("%d\n",sum[n]);
    }
}

看了题解后，这不是规律，这是有道理的！而且这题是可以用动态规划做的！

所谓找规律的道理所在：

设a[n]为和为 n 的种类数；
根据题目可知，加数为2的N次方，即 n 为奇数时等于它前一个数 n-1 的种类数 a[n-1] ，若 n 为偶数时分加数中有无 1 讨论，即关键是对 n 为偶数时进行讨论：
1.n为奇数，a[n]=a[n-1]
2.n为偶数：
（1）如果加数里含1，则一定至少有两个1，即对n-2的每一个加数式后面 +1+1，总类数为a[n-2]；
（2）如果加数里没有1，即对n/2的每一个加数式乘以2，总类数为a[n/2]；
所以总的种类数为：a[n]=a[n-2]+a[n/2];

动态规划思想：

附一个完全背包解法，暂时没有想出这个代码的含义

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <stack>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
const double pi = acos(-1.0);
const int mod = 1e9;

const int N =1e6+10;

int dp[N];

void Init()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));


    dp[0]=dp[1]=1;
    for(int i=1;i<=22;i++)
    {
        for(int j=2;j<=1000000;j++)
        {
            int v=1<<(i-1);
            if(j>=v)
                dp[j]=dp[j-v]+dp[j];
            while(dp[j]>mod)
                dp[j]-=mod;
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    Init();
    while(~scanf("%d",&n))
        printf("%d\n",dp[n]);
    return 0;
}