Codeforces Round #486 (Div. 3) D. Points and Powers of Two

最新推荐文章于 2022-03-02 09:47:48 发布

Nelaris

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分类专栏： STL应用

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本文解析了CodeForces上的一道难题，通过数学证明得出最优解不超过3个数，并提供了一种有效的算法实现，利用等差数列的特性解决两两数之间的差值为2的幂的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://codeforces.com/contest/988/problem/D

题目分析 ：给你一个大小为n的数列，问你最多能够在这个这n个数中选取多少个，使得由他们组成的集合中，两两之间的差的绝对值为2的幂。

题目建模：

这个题最大的难点，在于分析出：这个n<=3;简单证明一下

当n==1||n==2,结论肯定成立

当n==3时

三个数从小到大分别为a，b，c，即要符合条件，则需要满足：

$b-a=x； c-b=y； c-a=z；$ (1)

$c-b=y$ (2)

$c-a=z$ (3)

将(2)+(1)可得，再根据(3)可得

$x+y=z$

因为我们知道，要满足题意，x,y,z都必须为2的幂。而要使得2^a1+2^b1==2^c1成立，则不难得出，当且仅当a1==b1时成立，即x==y时成立，此时，不难发现，a，b，c三个数是形成一个等差数列的。

而当集合的大小>=4时，设大小为4，四个数由大到小分别为a，b，c，d。则根据上面的证明，则我们要满足答案，则需要abc、abd、acd、bcd......所有的三元组都需要满足上述式子。显然这是不成立的，因此，大小大于3的答案是不合理的。

证明出来了这个结论，只需要考虑三个以内的答案即可，我们只需要利用等差数列的性质即可

将所有的数存入到 set 中

从第一个数开始枚举，枚举1到1e9中2的幂j，判断a+j和a+2*j是否在set内出现过就行

倘若都不在set内，则随便输出一个数即可。

//注意一下，1也算是在2的幂里面

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;

set<ll>s;
int a[200010];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        s.insert(a[i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(ll j=1;j<=2e9;j<<=1)
    {
        if(s.count(a[i]+j)&&s.count(a[i]+2*j))
        {
            printf("3\n");
            printf("%d %d ",a[i],a[i]+j);
            printf("%d\n",a[i]+2*j);
            return 0;
        }
    }
     for(int i=0;i<n;i++)
        for(ll j=1;j<=2e9;j<<=1)
        {
            if(s.count(a[i]+j))
            {
                printf("2\n");
                printf("%d %d\n",a[i],a[i]+j);
                return 0;
            }
        }

        printf("1\n");
        printf("%d\n",a[0]);
        return 0;
}