Codeforces Gym - 101635C [矩阵快速幂+状压]

最新推荐文章于 2021-11-09 20:47:28 发布

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矩阵快速幂

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本文介绍了一道关于使用1×2与1×1方块填充n×m矩阵的问题，并提供了一种结合状态压缩动态规划（状压DP）与矩阵快速幂的解题思路。该方法利用状态压缩技术预处理所有可能的状态转移，并通过矩阵快速幂加速求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给你 n*m的矩阵，问用1*2与1*1的方块填入，有多少方案。

题解：因为n只有8，所以我们可以构造转移矩阵a[256][256]，通过状压+dfs得出可以转移的方案，然后矩阵快速幂获得答案。

（注意：由于矩阵过大，所以不能通过形参传递矩阵）

AC代码：

#include<stdio.h>  
#include<string.h>  
#define NN 256  
#define mod 1000000000  
typedef long long ll;  
struct matrix  //设定为NN*NN的矩阵  
{  
    ll mat[NN][NN];  
}a,ans,c,d;  
ll f[10];  
ll n,m;  
matrix operator	*(matrix a,matrix b){
	matrix c;
	memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
	for(ll i=0;i<NN;i++){
            for(ll k=0;k<NN;k++){  
                if(a.mat[i][k]==0)continue;  
                for(ll j=0;j<NN;j++)  
                    c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+(a.mat[i][k]%mod)*(b.mat[k][j]%mod))%mod;  
            }  
	}
	return c;
}
matrix powerm(ll b)  
{  
    memset(d.mat,0,sizeof(d.mat));  
    for(ll i=0;i<NN;i++){  
        for(ll j=0;j<NN;j++){  
            if(i==j) d.mat[i][j]=1;  
            else d.mat[i][j]=0;  
        }  
    }  
    while(b>0){  
        if(b%2==1)d=d*a; 
        a=a*a;  
        b>>=1;  
    }  
    return d;  
}  
void dfs(ll pos,ll now,ll to)  {  
    if(pos>=n)  {  
        a.mat[now][to]++;  
        return ;  
    }  
    if(now&(1<<pos))  {  
        dfs(pos+1,now,to);  
        dfs(pos+1,now,to+f[pos]);  
        if(pos+1<n&&(now&(1<<(pos+1))))  
            dfs(pos+2,now,to+f[pos]+f[pos+1]);  
    }  
    else dfs(pos+1,now,to+f[pos]);  
}  
int main(){  
    f[0]=1;  
    for(ll i=1;i<10;i++)f[i]=f[i-1]*2;  
    scanf("%lld%lld",&n,&m);  
    for(ll state=0;state<(1<<n);state++)  
        dfs(0,state,0);  
    for(ll i=0;i<(1<<n);i++)  
        ans.mat[0][i]=a.mat[(1<<n)-1][i];  
    a=powerm(m-1);  
    ans=ans*a;
    printf("%lld\n",ans.mat[0][(1<<n)-1]); 
	return 0; 
}