[Codeforces 842D Vitya and Strange Lesson]异或字典树

本文介绍了解决Codeforces842D问题的方法,利用异或运算特性结合字典树,通过高效的查询和更新机制找到数组异或操作后的mex值。

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[Codeforces 842D Vitya and Strange Lesson]异或字典树

分类:Data Structure Trie Tree

1. 题目链接

[Codeforces 842D Vitya and Strange Lesson]

2. 题意描述

N 个数,M次查询 a1,a2,,an 。每次查询包含一个数 x ,将所有数与x异或,即 ai=aix 。然后求出 mex{a1,a2,,an} 。注意,当前操作会改变原数组。
mex{a1,a2,,an} 表示除 a1,a2,,an 之外的最小非负数。

3. 解题思路

首先,第 i 次询问,可以看成是与前面所有询问的叠加。因为是异或操作,只需要去一个前缀异或值就好了。
对输入的a1,a2,,an建立一棵二叉字典树,并判断每个节点下的子树是否满了。那么对于每个询问,从二进制高位向低位遍历整个树,假如当前位为 j(j{0,1}) ,那么 j==0 就判断左儿子子树是否满,否则判断右儿子子树是否满。如果满,就走另外一棵子树。边走边计算答案就好了。

4. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 3e5 + 5;
const int MAXB = 20;

int n, m, a[MAXN];
struct Trie {
    struct TNode {
        int ch[2];
        bool full;
        void init() { full = false; ch[0] = ch[1] = 0; }
    } nd[MAXN * MAXB];
    int tot, Root;
    void init() {
        memset(nd, 0, sizeof(nd));
        Root = tot = 1;
    }
    int newNode() {
        nd[tot + 1].init();
        return ++ tot;
    }
    void ins(int x) {
        int pos = Root;
        for(int i = MAXB; i >= 0; --i) {
            int j = x >> i & 1;
            if(!nd[pos].ch[j]) nd[pos].ch[j] = newNode();
            pos = nd[pos].ch[j];
        }
    }
    int getAns(int y) {
        int pos = Root, ret = 0;
        for(int i = MAXB; i >= 0; --i) {
            ret = ret << 1;
            int j = y >> i & 1;
            if(!pos) continue;
            if(nd[nd[pos].ch[j]].full == false) pos = nd[pos].ch[j], ret |= 0;
            else pos = nd[pos].ch[j ^ 1], ret |= 1;
        }
        return ret;
    }

    void dfs(int u) {
        if(!nd[u].ch[0] && !nd[u].ch[1]) {
            nd[u].full = true;
            return;
        }
        nd[u].full = true;
        for(int i = 0; i < 2; ++i) {
            if(!nd[u].ch[i]) {
                nd[u].full = false;
                continue;
            }
            dfs(nd[u].ch[i]);
            nd[u].full &= nd[nd[u].ch[i]].full;
        }
    }
} trie;

int main() {
#ifdef ___LOCAL_WONZY___
    freopen ("input.txt", "r", stdin);
#endif // ___LOCAL_WONZY___
    while(~scanf("%d %d", &n, &m)) {
        trie.init();
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%d", &a[i]);
            trie.ins(a[i]);
        }
        int x, y = 0, ans;
        trie.dfs(trie.Root);
        while(m --) {
            scanf("%d", &x); y ^= x;
            ans = trie.getAns(y);
            printf("%d\n", ans);
        }
    }
#ifdef ___LOCAL_WONZY___
    cout << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC * 1000 << " ms." << endl;
#endif // ___LOCAL_WONZY___
    return 0;
}
### 解题思路 #### 问题描述 Codeforces 1678C - Tokitsukaze and Strange Inequality 是一道关于排列组合与前缀和的应用问题。给定一个长度为 \( n \) 的排列数组 \( p \),需要统计满足条件 \( a < b < c < d \) 并且 \( p_a < p_c \) 同时 \( p_b > p_d \) 的四元组数量。 --- #### 核心思想 由于数据规模较小 (\( n \leq 5000 \)),可以直接通过枚举的方式解决问题。为了降低时间复杂度,引入 **前缀和** 技术来加速计算过程[^3]。 具体来说: - 枚举变量 \( a \) 和 \( c \),固定它们之后,目标是快速找到符合条件的 \( b \) 和 \( d \)。 - 使用预处理好的前缀和数组 `num` 来高效查询某个范围内满足特定关系的数量。 - 定义辅助数组 `sum` 表示对于固定的区间范围内的某些约束条件下的累积计数结果。 --- #### 实现细节 ##### 步骤一:构建前缀和数组 `num` 定义二维数组 `num[i][j]`,其中 `num[i][j]` 表示在序列的前 \( i \) 项中,有多少个元素大于 \( j \)。 该数组可以通过如下方式初始化: ```python n = len(p) max_val = max(p) # 初始化 num 数组 num = [[0] * (max_val + 2) for _ in range(n + 1)] for i in range(1, n + 1): for j in range(max_val + 1, -1, -1): # 反向遍历以保持正确性 if p[i - 1] > j: num[i][j] = num[i - 1][j] + 1 else: num[i][j] = num[i - 1][j] ``` 上述代码的时间复杂度为 \( O(n \cdot m) \),其中 \( m \) 是数组中的最大值。 --- ##### 步骤二:定义并填充辅助数组 `sum` 定义另一个二维数组 `sum[i][j]`,它表示当 \( a=i \), \( c=j \) 时,在区间 \([a+1, c-1]\) 中满足 \( p[b] > p[d] \) 的总贡献次数。 利用动态规划的思想逐步更新此数组: ```python sum_ = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] bucket = [0] * (max_val + 1) for l in range(n - 1, 0, -1): bucket[p[l]] += 1 for r in range(l + 2, n + 1): sum_[l][r] = sum_[l][r - 1] + (num[r - 1][p[r - 1]] - num[l][p[r - 1]]) ``` 这里的关键在于如何有效累加当前区间的合法贡献,并借助之前已经计算的结果减少重复运算。 --- ##### 步骤三:枚举所有可能的 \( a \) 和 \( c \) 最后一步是对所有的 \( a \) 和 \( c \) 进行双重循环,并将对应位置上的 `sum[a][c]` 加入最终答案中: ```python result = 0 for a in range(1, n - 2): for c in range(a + 2, n): result += sum_[a][c] print(result) ``` 整个算法的核心部分即完成以上三个阶段的操作即可实现高效的解决方案。 --- ### 总结 本题主要考察的是对多重嵌套结构的有效简化以及合理运用前缀和技巧的能力。通过巧妙设计的数据结构能够显著提升程序运行效率至可接受水平。
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