codeforces 446C DZY Loves Fibonacci Numbers 线段树

最新推荐文章于 2023-07-18 11:00:52 发布

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本文介绍了一种结合线段树和Fibonacci数列的数据结构问题解决方法，利用Fibonacci数列的特性进行区间更新，并通过线段树实现区间求和，巧妙地解决了区间操作和查询的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：给一个包含n个元素的数组a[ ]（从左到右依次记为a1，a2，。。。，an）。有两种操作，一是给区间 [l,r] 依次加入fib数列的第一项、第二项...；而是询问区间 [l,r]的和%mod。

思路：fib的前n项是很好求的，如果我们在线段树节点上做一个标记，感觉延时操作也没有问题。但是当多个fib数列累加的时候就很麻烦了。但是，多个数列相加，第三项=前两项的和这一性质没有改变。这里有两个个结论：

如果第一项为a，第二项为b，以后每项为前两项的和。那么，第n项 = a*f[n-2]+b*f[n-1]，其中f[i]表示fib数列的第i项。

上述数列的前n项和 = f(n+2)-b ，f（i）表示这个数列的第i项。

知道这两个结论，如果保存，线段树节点累加的fib数列和的前1、2项，这题就可以做了。

//#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<ctime>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define MP(x,y) make_pair((x),(y))
#define PB(x) push_back(x)
typedef long long LL;
//typedef unsigned __int64 ULL;
/* ****************** */
const int INF=100011122;
const double INFF=1e100;
const double eps=1e-8;
const int mod=1000000009;
const int NN=300010;
const int MM=1000010;
/* ****************** */

struct TR
{
    int l,r;
    int p1,p2,sum;
    int mid()
    {
        return (l+r)>>1;
    }
}tr[NN*4];
int ans,f[NN];
int aa[NN];

void INC(int &a,int b)
{
    a+=b;
    if(a>=mod)a-=mod;
}

int fib(int a,int b,int n)
{
    if(n==1)return a;
    if(n==2)return b;
    return ((LL)a*f[n-2]+(LL)b*f[n-1])%mod;
}
int fib_sum(int a,int b,int n)
{
    int ans=fib(a,b,n+2);
    ans-=b;
    if(ans<0)ans+=mod;
    return ans;
}

void push_up(int R)
{
    tr[R].sum=tr[R<<1].sum+tr[R<<1|1].sum;
    if(tr[R].sum>=mod)tr[R].sum-=mod;
}
void down(int R,int a,int b)
{
    int ll=tr[R].r-tr[R].l+1;
    INC(tr[R].p1,a);
    INC(tr[R].p2,b);
    INC(tr[R].sum,fib_sum(a,b,ll));
}
void push_down(int R)
{
    if(tr[R].p1!=0 || tr[R].p2!=0)
    {
        int a=tr[R].p1;
        int b=tr[R].p2;
        int ll=tr[R<<1].r-tr[R<<1].l+2;
        down(R<<1,a,b);
        down(R<<1|1,fib(a,b,ll),fib(a,b,ll+1));
        tr[R].p1=0;
        tr[R].p2=0;
    }
}

void build(int l,int r,int R)
{
    tr[R].l=l;
    tr[R].r=r;
    tr[R].p1=tr[R].p2=0;
    if(l==r)
    {
        tr[R].sum=aa[l];
        return;
    }
    int mid=tr[R].mid();
    build(l,mid,R<<1);
    build(mid+1,r,R<<1|1);
    push_up(R);
}

void query(int l,int r,int R)
{
    if(l<=tr[R].l && tr[R].r<=r)
    {
        INC(ans,tr[R].sum);
        return;
    }
    push_down(R);
    int mid=tr[R].mid();
    if(l<=mid)
        query(l,r,R<<1);
    if(r>=mid+1)
        query(l,r,R<<1|1);
}

void update(int l,int r,int R)
{
    if(l<=tr[R].l && tr[R].r<=r)
    {
        int a=fib(1,1,tr[R].l-l+1);
        int b=fib(1,1,tr[R].l-l+2);
        down(R,a,b);
        return;
    }
    push_down(R);
    int mid=tr[R].mid();
    if(l<=mid)
        update(l,r,R<<1);
    if(r>=mid+1)
        update(l,r,R<<1|1);
    push_up(R);
}

int main()
{
    int n,m,i;
    int op,l,r;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&aa[i]);
    f[1]=1;
    f[2]=1;
    for(i=3;i<=n+5;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
        if(f[i]>=mod)f[i]-=mod;
    }
    build(1,n,1);
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
        if(op==1)
        {
            update(l,r,1);
        }
        else
        {
            ans=0;
            query(l,r,1);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}