各种数论定理

小技巧
当算某个数的阶乘或者算很大的次方的时候，可以将数字转换为10^n的进制表示方法（比如1000进制或者10000进制），这样出来点的数字和原答案是一样的，只不过在一个数组的一个元素中多存了几位。

约数个数定理
首先，n可以分解质因数：n=p1^a1×p2^a2×p3^a3*…*pk^ak,
由约数定义可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2……p1^a1 ，共（a1+1）个;同理p2^a2的约数有（a2+1）个……pk^ak的约数有（ak+1）个。
故根据乘法原理：n的约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)。
欧拉函数
通式：
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。
约数和定理
对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,
则由约数个数定理可知n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个，
那么n的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个正约数的和为
f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）
求1~n的最小公倍数**
从1开始记录到达当前值的最小公倍数，如果前一个的最小公倍数能整除当前值，则最小公倍数不变，否则*当前值除过1之外的最小约数，因为到当前值为止，假设到n了，m是n的最小约数（除了1），则n/m肯定在前面出现过，又要求最小公倍数，所以当前的最小公倍数是，抢一个的最小公倍数*m。
数论线性筛法总结
包括素数筛，欧拉函数筛，莫比乌斯函数筛，前n个数的约数个数筛。
费马平方和定理
奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数%4==1及4k+1的形式。
拉格朗日四平方和定理
每个正整数均可表示为4个整数的平方和。

m个不同的盒子内放入n个相同的小球的方案数(可以有空盒)
$\mathbb{C}_{n+m-1}^{n}$可以将m个盒子想象为m-1块隔板，最后和那个球放在一起就是n+m-1个，然后就是隔板的选法$\mathbb{C}_{n+m-1}^{m-1}$和前面的选法是相同的。
当不能有空盒时先给每一个盒子内放1个然后剩下的小球按照上面的方法方就好了

排列组合公式
$\mathbb{C}_{n}^{m}$=$\mathbb{C}_{n}^{n-m}$=$\mathbb{C}_{n-1}^{m-1}$+$\mathbb{C}_{n-1}^{m}$
$\mathbb{C}_{n}^{0}$+$\mathbb{C}_{n}^{1}$+$\mathbb{C}_{n}^{2}$+…+$\mathbb{C}_{n}^{n}$=$2^{n}$
$\mathbb{C}_{n}^{r}$+$\mathbb{C}_{n}^{r+1}$=$\mathbb{C}_{n+1}^{r+1}$
$\mathbb{C}_{n}^{n}$+$\mathbb{C}_{n+1}^{n}$+$\mathbb{C}_{n+2}^{n}$+…+$\mathbb{C}_{n+m}^{n}$=$\mathbb{C}_{n+m+1}^{n+1}$
新方法打逆元表

void init() {  
    F[0] = 1;  
    for(int i = 1; i < MX; i++) {  
        F[i] = (F[i - 1] * i) % mod;  
    }  
    invF[MX - 1] = power(F[MX - 1], mod - 2);  
    for(int i = MX - 2; i >= 0; i--) {  
        invF[i] = invF[i + 1] * (i + 1) % mod;  
    }  
}  

从1到n所有值的异或值
if n % 4 == 0值为n
if n % 4 == 1值为1
if n % 4 == 2值为n+1
if n % 4 == 3值为0

unsigned xor_n(unsigned n)

{

 unsigned t = n & 3;

 if (t & 1) return t / 2u ^ 1;

 return t / 2u ^ n;

}

杨辉三角
第n行第m个数是$\mathbb{C}_{n}^{m}$ ,当n&m==m成立时可以判断$\mathbb{C}_{n}^{m}$是奇数。

一个数的所有约数（包括自己）的欧拉函数之和，等于这个数本身的值
根据日期计算星期几

int judge(int y,int m,int d)//返回星期几
{
    if(m==1||m==2)
    {
        m+=12;
        y--;
    }
    return ((d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400)%7)+1;
}

k1和k2互素，结论是k1*k2和k1+k2也是互素的。

错排公式

    ans[1]=0;
    ans[2]=1;
    ans[3]=2;
    for(int i=4;i<=20;i++)
        ans[i]=(i-1)*(ans[i-1]+ans[i-2]);

四大定理
1.威尔逊定理
$(p-1)!\equiv-1 \mod {p}$,p为质数。
2.欧拉定理
phi(n)，小于n和n互素的数字个数。
在 [1,n] 中与 n 互素的数的和为：$\frac{phi(n)*n}{2}$
3.费马小定理
$a^{(p-1)}\equiv 1 \mod{p}$,p是质数，且p不能整除a。
4.费马大定理
当整数n >2时，关于x, y, z的方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解。

从0开始每次跳a步，上限是m-1，可以无限次的跳，则跳过得值是gcd(m,a)的倍数

持续更新中………