Nim博弈（hdu 2176）

最新推荐文章于 2021-10-14 20:34:34 发布

acmer_zp

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分类专栏：博弈

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本文详细阐述了Nim游戏的基本规则及其胜负判断方法。通过异或运算确定游戏的必胜和必败状态，并提供了一个简单的C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

代表当前状态的子状态最多能有多少种走法的异或和；

通常的Nim游戏的定义是这样的：
有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。
结论：
必败状态：a1^a2^……^an=0
必胜状态：a1^a2^…….^an=k (其中k不为零)
证明：
terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。
对于某个局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨设a1^a2^…^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k< ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai’=ai^k，此时a1^a2^…^ai’^…^an=a1^a2^…^an^k=0。
对于某个局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai’^…^an可以得到ai=ai’。所以将ai改变成ai’不是一个合法的移动

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
const int maxn=1e6+10;
using namespace std;
int x[maxn];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        int s=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&x[i]);
            s^=x[i];
        }
        if(s==0)
        {
            printf("No\n");
            continue;
        }
        printf("Yes\n");
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int num=s^x[i];//除过x[i]外其余所有数的异或值
            if(num<x[i])//当两个值相等时其异或值才为0，如果这个值小于x[i]则可以令当前值取num令局面变为必败态
                printf("%d %d\n",x[i],num);
        }
    }
}