(转)B+树的理解

大部分内容转自这篇博文https://www.jianshu.com/p/e5d86a0ba150和https://www.cnblogs.com/xueqiuqiu/articles/8779029.html

B树就是B-树。

Mysql用的是B+树

B树和B+树应用在数据库索引，可以认为是m叉的多路平衡查找树，但是从理论上讲，二叉树查找速度和比较次数都是最小的，为什么不用二叉树呢？ 
因为我们要考虑磁盘IO的影响，它相对于内存来说是很慢的。数据库索引是存储在磁盘上的，当数据量大时，就不能把整个索引全部加载到内存了，只能逐一加载每一个磁盘页（对应索引树的节点）。所以我们要减少IO次数，对于树来说，IO次数就是树的高度，而“矮胖”就是B树的特征之一，它的每个节点最多包含m个孩子，m称为b树的阶，m的大小取决于磁盘页的大小

总结：每一磁盘页对应索引树的节点，意思是一磁盘页就是一个节点？

IO次数＝树的高度，意思是IO3次即树的高度就是3层?

 

B树

概念：一棵m阶B树是一棵平衡的m路搜索树。
特点：

• m即所有节点中孩子节点个数的最大值，且M>2；
• 根结点的儿子数为[2, M]；
• 根结点和叶子结点中间的这部分节点的儿子数为[M/2, M]，向上取整(就是除根结点以外的非叶子结点)
• 非叶子结点的关键字个数=儿子数-1；
• 所有叶子结点位于同一层

有关b树的一些特性，注意与后面的b+树区分：

1. 关键字集合分布在整颗树中；
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

B树查找性能是Log2N

B树的插入

例：用1，2，6，7，11，4，8，13，10，5，17，9，16，20，3，12，14，18，19，15构建5阶B树

因为构建5阶的B树，所以每个节点的关键字个数范围为[2,4]

插入11时，该节点的关键字个数超出范围，进行分裂

之后直接插入4，8，13

当插入10时，节点关键字个数再次超出范围

将子节点分裂

这样的过程循环,关键字个数超就往上顶，上面也超不够顶，就往下分裂

最后结果

查询

如图是一个3阶b树，顺便讲一下查询元素5的过程

第一次磁盘IO，把9所在节点读到内存，把目标数5和9比较，小，找小于9对应的节点；

2，第二次磁盘IO，还是读节点到内存，在内存中把5依次和2、6比较，定位到2、6中间区域对应的节点； 

3，第三次磁盘IO就不上图了，跟第二步一样，然后就找到了目标5。

可以看到，b树在查询时的比较次数并不比二叉树少，尤其是节点中的关键字非常多时，但是内存的比较速度非常快，耗时可以忽略，所以只要树的高度低，IO少，就可以提高查询性能，这是b树的优势之一。

 

二，b+树

b+树，是b树的一种变体，查询性能更好。m阶的b+树的特征：

1. 非叶子结点中的子节点数跟关键字数是一样的（b树是关键字数比子节点数少1），这些关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点（b树是每个关键字都保存数据）。
2. 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
3. 所有的非叶子结点可以看成是索引部分，结点中仅包含其各子节点中的最大（或最小）关键字。
4. 通常在b+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。
5. 同一个数字会在不同节点中重复出现，根节点的最大元素就是b+树的最大元素。

之所以非叶子节点要存储各子节点的最大关键字或最小关键字，是因为方便在查询时，确定往哪个子节点查

这个图是仅包含其各子节点中的最大关键字。

这个图是仅包含其各子节点中的最小关键字。

b+树相比于b树的查询优势：

1. b+树的中间节点不保存数据，所以磁盘页能容纳更多节点元素，更“矮胖”；
2. b+树查询必须查找到叶子节点，b树只要匹配到即可不用管元素位置，因此b+树查找更稳定（并不慢）；
3. 对于范围查找来说，b+树只需遍历叶子节点链表即可，b树却需要重复地中序遍历，如下两图：

这是B树的范围查找

这是B+树的查找

 

总结，之所以数据库要选B树或B+树，不选二叉树，目的是为了减少磁盘IO的次数，因为B树和B树结构是矮胖的。

而B+树因为非叶子节点都不存储数据，只存储索引，所以同样大小的磁盘页可以容纳更大的节点元素，这就意味着，数据量相同的情况下，B+树比B-树更加“矮胖”，因此查询时IO次数也更少。