Day2补充：钢管切割问题

转自：https://blog.youkuaiyun.com/cyp331203/article/details/42806159

Day2补充：钢管切割问题

一. 问题背景：

某公司生产长钢管，然后一般，会将钢条切断，变成不同长度，然后去售卖。其中有个问题是，不同长度的钢管的售价是不一样的，但是它们并不是完全按照比例来，比如2米的钢管售价要比3米的钢管售价要少，但是并不是2比3的比例。钢管的长度售价表如下：

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

 

于是问题就来了，比如30米长的钢管，要如何切割，切割成多长的几条，才能让售价最高，收益最高呢？

二. 解决思路：

1.朴素算法：

最简单直接的想法，就是用暴力破解，n长的钢管，可以分解成i长和n-i长的两段，因为i可以从0~n取值，所以我们可以对i不进行继续切割，于是对于长为i的这一段，可以直接调用价钱数组p[i]来得到价钱，然后加上对n-i递归调用求最优收益的函数的返回值。在过程之中记录这些组合的最优收益，等循环结束的时候，就能得到最优的收益价钱。

假设r[n]代表的是n长的钢管的切割最佳收益值，数组p代表上面表中的价格，其中p[0]=0，从p[1]~p[10]对应上面表中的数据，那么按照上面的想法，有公式：

                                                 ，当n=0时，r[n]=0，因为0长的钢管售价当然为0。

这种方法比较容易理解，但是性能是不是好呢？

可以简单的以n=4的情况来看一下：

        n=4的划分(其中前面的那一段是直接使用p[i]，后面一段调用函数来求最佳收益)：

            cut_rod(p,4)的划分可能：

                ①1长和3长：p[1]+cut_rod(p,3)

                ②2长和2长：p[2]+cut_rod(p,2)

                ③3长和1长：p[3]+cut_rod(p,1)

                ④4长和0长：p[4]+cut_rod(p,0)

        而其中cut_rod(p,3)又可以划分为数组p中元素与cut_rod(p,0)，cut_rod(p,1)和cut_rod(p,2)；以此类推，可以给出一种以递归调用树的形式展示cut_rod递归调用了多少次：

          

不难从图中看出，做了大量重复工作，以n=2的节点为例，分别在n=4和n=3的时候都被调用了。根据上图，可以给出递归调用次数的一个公式，假设T(n)表示cut_rod第二个参数为n时的调用次数，T(0)这时候是为1的，因为根结点的第一次调用也要算进去。于是有：

                                                             T(n)=1+T(0)+T(1)+...+T(n-1)

使用归纳法，可以比较容易的得出：T(n)=2^n。

指数次幂的调用次数，显然太大，我们稍微让n大一点，则会让整个过程变的漫长。

2. 动态规划算法

而实际上我们不需要在每次都去重新计算cut_rod的在n=2时的结果，只需要在第一次计算的时候将结果保存起来，然后再需要的时候直接使用即可。这其实就是所谓的动态规划算法。

这里的思路有两种，一种叫带备忘的自顶向下方法，是顺着之前的代码，当需要的时候去检查是不是已经计算好了，如果是，则直接使用，如果不是，则计算，并保存结果。第二种思路是自底向上方法，不论需不需要，先将子问题一一解决，然后再来解决更高一级的问题，但要注意的是，我们需要先从最小的子问题开始，依次增加规模，这样每一次解决问题的时候，它的子问题都已经计算好了，直接使用即可。