optical flow

最新推荐文章于 2024-08-14 19:43:34 发布

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#image #methods #signal

本文介绍了光流法的基本原理，包括光流法的概念及其数学表达方式。重点解释了光流方程的由来，并通过Lucas-Kanade方法进一步探讨了如何解决光流问题中的未知变量。文中还涉及到了超定方程的最小二乘解法。

1 首先看wiki中的optical flow，网址 http://en.wikipedia.org/wiki/Optical_flow

关键信息摘取：

The optical flow methods try to calculate the motion between two image frames which are taken at times t and $t + δ t$ at every voxel position. These methods are called differential since they are based on local Taylor series approximations of the image signal; that is, they use partial derivatives with respect to the spatial and temporal coordinates.意思大概为：光流方法是计算相邻两帧（时间为t,t+dt）中的每一个点的运动。计算光流的方法是基于微分，因为是基于泰勒级数展开求得的，即利用像素点时间和空间坐标的偏微分。

For a 2D+t dimensional case (3D or n-D cases are similar) a voxel at location $(x, y, t)$ with intensity $I (x, y, t)$ will have moved by $δ x$ , $δ y$ and $δ t$ between the two image frames, and the following image constraint equation can be given:

I (x, y, t) = I (x + δ x, y + δ y, t + δ t)

（比较懒，就不翻译了。。。。。。）

最终得到公式

I x V x + I y V y = - I t

其中，

I x I

I _y I _t 分别为 x方向梯度，Y方向梯度，以及相邻两帧梯度

2. 再次看wiki中的Lucas–Kanade method，网址： http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas%E2%80%93Kanade_method

该部分有详细的推到，涉及到矩阵的一些概念。其中有超定方程怎样就求。

有一个矩阵的定理对理解有帮助：对于方程组Ra=y，R为n×m矩阵，如果R列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。

超定方程一般是不存在解的矛盾方程。

定理：当RT·R可逆时，以上超定方程组存在最小二乘解，且即方程组 RT·R·a=RT·y

　　的解为：

　　a=(RT·R)-1·RT·y