7、波数变换：原理、应用与图像增强技术

波数变换：原理、应用与图像增强技术

1. 波数变换基础

波数 (k) 在物理上是弧度频率除以波速，单位为弧度每米。它可以看作是波长相对于 (2\pi) 的一种度量，且 (k = \frac{2\pi}{\lambda})，在三维空间中可分解为 (k_x)、(k_y) 和 (k_z) 分量。波数在雷达、声纳、天文学和数字医学成像等领域的特定信号处理中是核心参数。

波数变换是一种傅里叶变换，只是将时间替换为空间。通过对传感器阵列在精确已知空间位置采样的波进行波数处理，可以提取空间和方向信息。例如，潜艇后方的线性水听器阵列可用于远程监视，地质勘探中的检波器线阵，以及爱国者导弹防御系统中的二维相控阵雷达等。

为了分析波数变换，我们定义一个沿正 (x) 方向以速度 (c) 传播的平面波为 (e^{j(\omega t - kx)})。相对于原点和时间 (t)，波是向外传播的，随着 (t) 增加，波上的恒定相位点向外传播。若 (r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) 表示相对于原点的距离，则 (x)、(y) 和 (z) 方向的波数分量 (k_x)、(k_y) 和 (k_z) 可用于确定波的传播方向。

测量波数谱时，在某一时刻对一系列已知场位置的波形进行采样，然后进行空间傅里叶变换，从而得到波数谱。长波长对应小的波数，短波长对应高的波数。

1.1 针孔相机与波数变换

针孔相机在每个外部点上，来自场景的散射光会产生“亮度”波数谱。针孔相机能够将物体场重建为针孔对面的倒立图像，这一过程可以描述为二维逆波数变换。波数分量 (k_x) 和 (k_y) 代表了图像坐标 (x) 和 (y) 的光线几何关系。接近零的小波数对应相