6、非线性方程组的牛顿法：原理、应用与代码实现

非线性方程组的牛顿法：原理、应用与代码实现

1. 引言

在实际问题中，我们常常会遇到涉及多个变量的非线性关系。当处理具有相同数量的方程和未知数的方程组时，牛顿法是一种非常有效的求解方法。本文将详细介绍牛顿法在求解非线性方程组中的应用，包括原理、具体步骤以及通过Matlab代码实现的示例。

2. 牛顿法求解非线性方程组的基本原理

2.1 问题描述

考虑一个非线性方程组可以表示为 $f(x) = 0$ 的形式，其中 $x$ 是包含多个变量的向量。例如，对于一个金属板在均匀分布载荷下的应力分布问题，有如下方程组：
[
\begin{cases}
f_1(x_1,x_2) = \cos(2x_1) - \cos(2x_2) - 0.4 = 0 \
f_2(x_1,x_2) = 2(x_2 - x_1) + \sin(2x_2) - \sin(2x_1) - 1.2 = 0
\end{cases}
]
我们的目标是找到 $x_1$ 和 $x_2$ 的值，使得 $f_1(x_1,x_2) = f_2(x_1,x_2) = 0$。

2.2 牛顿法的基本思想

牛顿法是牛顿 - 拉夫逊方法在非线性方程组中的扩展。我们从一组初始近似值开始，逐步迭代找到更接近方程组根的解。在选择初始近似值时需要谨慎，因为非线性方程组的求解方法通常不如单方程求解方法稳健，如果初始值离解太远，方法可能无法收敛。

2.3 具体步骤

以 $2\times2$ 非线性方程组为例，牛顿法的步骤如下：
1. 选择起始点