3、线性方程求解：从基础到高级技巧

线性方程求解：从基础到高级技巧

1. 线性关系简介

在许多实际场景中，物理实体的行为常呈现出与外部影响的线性关系。例如，温度计中汞柱的长度（$L$）与环境温度（$T$）直接相关，这种关系可表示为$L = kT + c$。其中，$k$和$c$是常数，其值取决于温度和长度的测量单位以及温度计管的内径。$k$表示温度升高时汞柱长度的变化，$c$对应于零摄氏度时汞柱的长度。这里，$T$是自变量，$L$是因变量。若绘制$L$与$T$的关系图，将得到一条斜率为$k$、在$L$轴上截距为$c$的直线。

另一个线性关系的例子是胡克定律（$T = \frac{\lambda}{a}x$），它描述了弹簧的张力（$T$）与伸长长度（$x$）之间的关系。其中，$a$是弹簧的原始长度，$\lambda$是弹性模量。通常，张力和弹性模量的单位是牛顿，长度的单位是米。绘制$T$与$x$的关系图，会得到一条过原点、斜率为$\frac{\lambda}{a}$的直线。

涉及多个变量的线性关系可由基尔霍夫定律说明，该定律指出在某一点相遇的电流的代数和必须为零。若$i_1$、$i_2$和$i_3$表示三个这样的电流，则有$i_1 + i_2 + i_3 = 0$。一个变量值的增加必然导致其他一个或多个变量值的相应减少，从这个意义上说，这种关系是线性的。对于线性关系，变量（或变量的常数倍）通过加法和减法组合。

2. 线性系统

在更复杂的建模场景中，可能存在许多线性关系，每个关系涉及大量变量。例如，在桥梁或飞机等结构的应力分析中，可能涉及数百甚至数千个线性关系。通常，我们希望利用这些关系确定因变量的值，以回答以下问题：
- 对于给定的弹簧伸长量，弹簧的张力是多少？ <