25、数字信号插值技术全解析

数字信号插值技术全解析

1. 加权平均与归一化卷积

在信号处理中，合适的平均操作需要对每个数据点 $g_n$ 进行加权，权重为方差的倒数 $w_n = 1/σ_n^2$。此时，均值的估计公式为：
[
\bar{g} = \frac{\sum_{n=1}^{N} g_n / σ_n^2}{\sum_{n=1}^{N} 1 / σ_n^2}
]
均值的标准差公式为：
[
σ_{\langle g \rangle}^2 = \frac{1}{\sum_{n=1}^{N} 1 / σ_n^2}
]

将加权平均应用于图像处理中，便产生了归一化卷积。归一化卷积需要两个信号，一个是待处理的图像 $G$，另一个是包含权重因子的图像 $W$。用掩码 $H$ 进行归一化卷积的定义为：
[
G’ = \frac{H * (W \cdot G)}{H * W}
]

归一化卷积本质上是将图像 $G$ 和加权图像 $W$ 转换为新的图像 $G’$ 和新的加权图像 $W’ = H * W$，可进行进一步处理。“标准”卷积可视为归一化卷积的特殊情况，此时所有像素被赋予相同的权重因子，无需使用加权图像。

归一化卷积的灵活性在于加权图像的选择，它不一定与误差相关，还可用于选择和/或放大具有特定特征的像素，使其成为一种通用的非线性算子。

2. 插值的必要性

在许多信号处理任务中，当操作使输出信号的数字点不再与输入信号的网格点重合时，就需要进行数字信号的插值。以下是一些常见的需要插值的操作场景：
- 几何操作