41、货币流通与人类移动性中的分数动力学：基于CTRW模型的研究

货币流通与人类移动性中的分数动力学：基于CTRW模型的研究

1. 引言

在研究货币流通、人类移动以及疾病传播等现象时，随机游走模型是一种重要的工具。其中，连续时间随机游走（CTRW）模型能够很好地描述具有无标度跳跃和长时间等待特征的过程。本文将深入探讨CTRW模型在这些领域的应用，包括其缩放关系、极限函数以及与实际数据的验证等方面。

2. 初始观察与基础概念

2.1 二次报告比例的时间变化

在一个初始进入位置的短半径（(r_0 = 20 km)）范围内，二次报告的相对比例(P_0(t))随时间变化呈现出一定规律。不同类型的曲线（如方块表示的平均曲线，以及三角形、菱形和圆形表示的特定类别曲线）都渐近地以(t^{-\xi})的形式下降，其中指数(\xi = 0.6 ± 0.03)。普通二维扩散预测的指数为(\xi = 1)，而具有指数(\beta = 0.6)的Lévy飞行扩散预测的下降更为陡峭，(\xi = 3.33)。

2.2 普通随机游走与亚扩散

普通随机游走的位移可能导致亚扩散现象。例如，当(\psi(\Delta t) \sim \Delta t^{-(1 + \alpha)})且(\alpha < 1)时，普通随机游走者的位置(X(t) \sim t^{2/\alpha})。结合空间位移的幂律，这种矛盾性会导致长跳跃和长休息之间的竞争，从而可能导致扩散的衰减。

3. 连续时间随机游走（CTRW）模型

3.1 CTRW模型概述

CTRW模型由一系列随机位移(\Delta x_n)和随机等待时间(\Delta t_n)组成，它们分别