27、利用VNS算法解决多维多路数字分区问题

利用VNS算法解决多维多路数字分区问题

1. 问题陈述

1.1 基本概念

MDMWNPP（Multidimensional Multi - Way Number Partitioning Problem）涉及一些基本概念。设 $V = {v_i} {i\in I_n}$ 是一组向量，函数 $g_v : P(I_n) \to \mathbb{R}^m$ 接收 $\mathbb{R}^m$ 中的离散向量子集，并返回其元素之和，计算公式如下：
[
X \in P(I_n) : g_v(X) = \sum {i\in X} v_i
]
用 $g_{v_l}(X)$ 表示 $g_v(X)$ 的第 $l$ 个坐标。

定义 1：设 $V = {v_i} {i\in I_n}$ 是一个向量序列，其中 $v_i \in \mathbb{R}^m$，$k$ 是一个正整数。找到 $V$ 索引的 $k$ 分区 ${A_j} {j\in I_k}$，使得多重集 ${g_v(A_j)} {j\in I_k}$ 的直径最小，直径定义为：
[
\text{diam} {\infty}({A_j} {j\in I_k}) = \max {j’,j} {|g_v(A_{j’}) - g_v(A_j)|_{\infty}}
]

例如，设 $V = {(1, 3), (4, 4), (3, -2), (2, 5), (2, -1)}$，其最优 3 - 分区对应的目标函数值为 $\max_l{|g_{v_l}(A) - g_{v_l}(C)|, |g_{