9、具有强右不变度量的微分同胚群中的分段刚性运动

具有强右不变度量的微分同胚群中的分段刚性运动

1. 引言

形状（或图像）配准在计算解剖学的数据处理流程中已成为常规步骤。大变形微分同胚度量映射（LDDMM）是一类配准算法，其微分同胚表示可与黎曼流形中的坐标系相关联，为设计各种分析方法提供了额外的结构。

LDDMM通常作为一个最优控制问题来实现，其中形状或图像沿着环境空间中随时间变化的向量场 $v$ 的流进行传输，该向量场 $v$ 作为控制量。在原始算法中，与该控制相关的成本定义为在再生核希尔伯特空间（RKHS）$V$ 中的平方范数 $|v|^2_V$，$V$ 是 $R^d$（$d = 2$ 或 $3$）上具有足够可微性的向量场空间。近年来，为了修改这个成本，引入了一些修改，使其特别依赖于被传输的形状。

本文探讨了一种特殊情况，即传输多个形状时，向量场 $v$ 在每个形状上的限制与欧几里得变换一致。这导致了一个刚性物体配置的形状空间，我们将描述其运动方程，并通过数值实验进行说明。

2. 问题表述

• 形状空间 ：考虑一个形状空间 $M$，其元素是一对一的函数 $\gamma: E \to R^d$，假设 $E$ 是一个有限集。$M$ 是包含所有从 $E$ 到 $R^d$ 的函数的有限维空间 $Q$ 的一个开子集。给定 $E$ 的一个划分 $(E_1, \ldots, E_m)$，用 $\gamma_k$ 表示 $\gamma$ 在 $E_k$ 上的限制。
• 再生核希尔伯特空间 ：设 $V$ 是 $R^k$ 中向量场的 RKHS，连续嵌入到 $C^p_0(R^d, R^d)$ 中。与