3、黎曼几何在形状分析与计算解剖学中的应用

黎曼几何在形状分析与计算解剖学中的应用

1. 李群作用与奥莫里定理

李群 $G$ 在流形 $M$ 上的光滑作用是一个光滑映射 $G × M → M$，记为 $(g, x) \mapsto g.x$，满足 $e.x = x$ 和 $g.(h.x) = (gh).x$，其中 $e$ 是 $G$ 中的单位元。如果对于任意两点 $x, y \in M$，都存在 $g \in G$ 使得 $g.x = y$，则称该作用是传递的；如果对于所有 $x \in M$ 都有 $g.x = h.x$ 能推出 $g = h$，则称该作用是有效的。

微分同胚群在基流形上的作用由 $\phi.x = \phi(x)$ 给出，显然它是有效的，因为对于所有 $x \in M$ 都有 $\phi(x) = \psi(x)$ 意味着 $\phi$ 和 $\psi$ 作为函数相等。并且微分同胚群的作用也是传递的。

奥莫里定理要求我们做出选择：要么微分同胚群不是巴拿赫流形，要么它不是光滑作用的李群，即群运算或在流形上的作用不是光滑的。选择使用光滑微分同胚群 $Diff(M)$ 会导向弗雷歇流形的设定，其中 $Diff(M)$ 是李群，做几何更容易，因为更多运算可微，但建立分析结果更具挑战性。另一个选择是具有有限阶导数的微分同胚群 $Diff^{C^n}(M)$，它是巴拿赫流形，有多种工具可用于证明存在性结果，但由于它不是李群，几何设定不够丰富。

2. 无限维黎曼几何

2.1 流形 $C^{\infty}(M, N)$

假设 $M$ 是无边界的紧致（因此是有限维）流形，$N$ 可以是无边界的非紧致（甚至是无限维）流形。为了将 $C^{\infty}(M