3、加权有限自动机：不同拓扑结构下的计算

加权有限自动机：不同拓扑结构下的计算

1. 引言

有限自动机是传统计算中最简单的模型之一，它对有限字母表上的单词进行操作。如果为自动机关联输出，即考虑有限转换器，就可以得到一个简单的经典模型来计算单词函数 (A^ \to B^ )。

另一种方式是，对于一个普通的有限非确定性自动机 (A)，为每个（被接受的）单词关联它被接受的次数。进一步扩展，可以使用带权重的自动机，即每个转换不仅用符号标记，还带有权重。这就产生了函数 (f_A : A^*\to R^+)，这些函数被称为有理函数。

当固定 (A = {0, 1}) 这个二进制字母表时，单位区间 ([0, 1)) 和集合 (A^\omega \setminus A^*1^\omega)（即包含无限多个零的无限二进制单词集合）之间存在著名的双射。利用这个双射，可以为每个非确定性（加权）自动机 (A) 关联两个函数：
- (f_A : A^\omega \to R^+)
- (\hat{f}_A : [0, 1) \to R^+)

这些函数的值通过矩阵的无限乘积得到，对于有理函数，乘积是有限的。为了避免一些复杂问题，我们使用特殊类别的自动机，即级别自动机。级别自动机除了允许从一个状态到自身的循环外是无环的，并且循环的权重根据状态是否为最终状态分别严格小于 1 或等于 1。

这里得到的函数 (f_A) 和 (\hat{f}_A) 在拓扑上表现非常不同。对于级别自动机模型，函数 (f_A) 总是连续的，甚至是一致连续的，而 (\hat{f}_A) 则很少是连续的。

2. 预备知识

2.1 基本概念

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