P8649 [蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

原创于 2025-03-23 20:05:11 发布

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#算法 #哈希表 #蓝桥杯

这题目描述

给定一个长度为 N 的数列，A1,A2,⋯AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,⋯Aj(i≤j) 之和是 K 的倍数，我们就称这个区间 [i,j] 是 K 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 K 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 K (1≤N,K≤105)。

以下 N 行每行包含一个整数 Ai (1≤Ai≤105)。

输出格式

输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

时限 2 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<long long> s(n + 1, 0); // 前缀和数组，使用long long避免溢出
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int a;
        cin >> a;
        s[i] = s[i - 1] + a;
    }

    vector<int> cnt(k, 0); // 余数统计数组，大小为k
    cnt[0] = 1; // 初始余数0出现一次（对应s[0]）
    long long ans = 0;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int mod = (s[i] % k + k) % k; // 确保余数为非负数
        ans += cnt[mod]; // 累加当前余数已出现的次数
        cnt[mod]++; // 更新余数出现次数
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

这段代码众嘴难理解的就是利用哈希表记录

. 哈希表 `cnt` 的初始状态

初始化 cnt[0] = 1，表示余数 0 已出现一次（对应 s[0] = 0）。
余数相同的前缀和之差是K的倍数：
若 s[j] % K = s[i] % K，则 s[j] - s[i] 是K的倍数，对应区间 [i+1, j]。
哈希表 cnt 的作用：
记录余数出现的次数，每次遇到相同余数时，直接累加已出现的次数作为新增区间数。
初始条件 cnt[0] = 1：
确保前缀和本身为K倍数时（如 s[i] % K = 0），可以正确统计区间 [1, i]。

	cnt[0]=1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int mod=(s[i]%k+k)%k;
		ans+=cnt[mod];
		cnt[mod]++;
	}