Leetcode-100乘积最大子数组

乘积最大子数组

题目概括

给定一个整数数组 nums，找出数组中乘积最大的非空连续子数组（至少包含一个数字），返回其对应乘积。要求结果在 32 位整数范围内。

示例：
输入：nums = [2,3,-2,4]
输出：6
解释：子数组 [2,3] 的乘积是 6，其余子数组乘积均小于 6。

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算法思想

动态规划（双状态维护）

核心问题：负数的存在可能使最小值翻转为最大值（如 -5 * -3 = 15）。

• 维护两个状态：
  • f_max：以当前元素结尾的子数组的最大乘积
  • f_min：以当前元素结尾的子数组的最小乘积
• 对每个元素 x，计算三种可能性：
  1. 延续前序子数组（f_max * x）
  2. 前序最小乘积可能翻转为最大（f_min * x）
  3. 以当前元素重新开始（x）

关键点

• 遇到负数时，交换 f_max 和 f_min 的值（或通过同时计算实现等效效果）
• 始终维护全局最大值 ans

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算法步骤

1. 初始化：

   • ans 设为负无穷（处理全负数或含零的情况）
   • f_max = f_min = 1（空乘积初始值）

2. 遍历数组：

   • 对每个元素 x：
     • 计算候选值：temp_max = f_max * x, temp_min = f_min * x
     • 更新当前状态：

       f_max = max(temp_max, temp_min, x)  # 三者取最大
       f_min = min(temp_max, temp_min, x)  # 三者取最小
       

     • 更新全局最大值：ans = max(ans, f_max)

3. 返回结果：ans

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具体代码

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        ans = -float('inf')  # 初始化全局最大值
        f_max = f_min = 1    # 空乘积初始值
        
        for x in nums:
            # 同时计算候选值，避免顺序影响
            candidates = (f_max * x, f_min * x, x)
            f_max = max(candidates)  # 更新当前最大乘积
            f_min = min(candidates)  # 更新当前最小乘积
            
            ans = max(ans, f_max)     # 维护全局最大值
        
        return ans

时间复杂度

• 时间复杂度： $O(n)$
  仅需一次线性遍历，每个元素处理时间为 $O(1)$。

• 空间复杂度： $O(1)$
  仅使用常数级别的额外空间（f_max，f_min，ans）。

示例解析

案例1：nums = [2, 3, -2, 4]

遍历过程：

x	f_max	f_min	ans
2	2	2	2
3	6	3	6
-2	-2	-6	6
4	4	-8	6

结果： 6

案例2：nums = [-2, 0, -1]

遍历过程：

x	f_max	f_min	ans
-2	-2	-2	-2
0	0	0	0
-1	0	-1	0

结果： 0

为什么需要维护最小值？

当遇到负数时，之前的 f_min（可能为负数）与之相乘会变成正数，可能成为新的最大值。例如：

nums = [-3, -4]

处理第一个 -3：f_max = -3, f_min = -3

处理第二个 -4：

• temp_max = (-3) * (-4) = 12
• temp_min = (-3) * (-4) = 12
• f_max = max(12, 12, -4) = 12

最终结果为12

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为什么需要与自身比较（x）？

在动态规划解法中，f_max 和 f_min 表示以当前元素 x 结尾的子数组的最大和最小乘积。在状态转移时，我们需要考虑以下三种可能性：

1. 延续前序子数组：
   将 x 与前序子数组的乘积相乘（f_max * x 或 f_min * x）。
2. 以 x 重新开始：
   丢弃前面的所有元素，单独以 x 作为新的子数组（即子数组只包含 x）。

为何必须考虑 x 自身？

场景1：前序乘积为负数，当前元素为正数

• 示例：nums = [-2, 3]
  • 处理到 3 时，前序最大乘积是 -2。
  • 若延续前序子数组：乘积为 -2 * 3 = -6。
  • 若单独以 3 开始：乘积为 3。
  • 最终选择 3，此时必须将 x 纳入比较。

场景2：前序乘积为0，当前元素较大

• 示例：nums = [0, 5]
  • 处理到 5 时，前序乘积为 0。
  • 延续前序乘积：0 * 5 = 0。
  • 单独以 5 开始：乘积为 5。
  • 最终选择 5。

场景3：当前元素是唯一选项

• 示例：nums = [-3]
  • 由于子数组必须非空，唯一选择是 -3。
  • 必须将 x 自身作为候选值。