银币(详细版)

最新推荐文章于 2025-06-13 14:09:45 发布

程序员小假

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分类专栏：一起刷题文章标签：算法

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有一个30行30列的矩阵，每个格子是‘o’或者是‘.’。其中前者表示有一枚银币，后者表示没有银币。下面的两个步骤合起来，称为一次操作：
首先，你选择一个方向：上、下、左、右。
然后，把所有的银币往你选择的方向移动一格。如果这个操作会使某些银币越出了矩阵的界，那么越界的银币会自动消失。
你现在的任务是：用最少的操作次数，使得矩阵里剩下的银币数量恰好是K，输出最少的操作次数。如果不可能完成任务，输出-1.

输入格式

第一行，三个整数R、C、K。1 <= R,C <= 30. 1<=K<=900.
接下来是R行C列的矩阵。

输出格式

一个整数。

输入/输出例子1

输入：

3 4 3

.o..

oooo

..o.

输出：

输入/输出例子2

输入：

6 6 12

.....o

......

oooooo

......

o.....

输出：

样例解释

样例一解释：

其中一种最优方案是

向右移动两次

样例二解释：

其中一种最优方案是

向上移动

向下移动

浅说：小假对本题进行了详细地讲解，包括思路，核心操作和样例，方便大家理解，完整代码在最后面~

思路：这个代码通过二维前缀和和枚举矩形区域的方法来解决这个问题。它的核心思想是找到一个矩形区域，使得该区域内的银币数量恰好为 K，并计算将该区域外的银币移出矩阵所需的最少操作次数

输入和初始化

cin >> r >> c >> k;
for (int i = 1; i <= r; ++i) {
    cin >> a[i] + 1;
}

输入矩阵的行数 r、列数 c 和目标银币数量 k
输入矩阵 a，其中 a[i][j] 表示第 i 行第 j 列的格子是 'o'（银币）还是 '.'（空）

二维前缀和预处理

void f1() {
    for (int i = 1; i <= r; ++i) {
        for (int j = 1; j <= c; ++j) {
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + (a[i][j] == 'o');
        }
    }
}

s[i][j] 表示从 (1, 1) 到 (i, j) 的矩形区域内银币的总数
通过动态规划计算二维前缀和：
- s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + (a[i][j] == 'o')
- 这里 (a[i][j] == 'o') 是一个布尔表达式，值为 1（如果 a[i][j] 是银币）或 0（否则）

计算矩形区域内的银币数量

int f2(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];
}

f2(x1, y1, x2, y2) 计算从 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的矩形区域内的银币数量。
公式为：
- s[x2][y2]：从 (1, 1) 到 (x2, y2) 的总银币数
- 减去 s[x1 - 1][y2]：从 (1, 1) 到 (x1 - 1, y2) 的总银币数
- 减去 s[x2][y1 - 1]：从 (1, 1) 到 (x2, y1 - 1) 的总银币数
- 加上 s[x1 - 1][y1 - 1]：从 (1, 1) 到 (x1 - 1, y1 - 1) 的总银币数（因为被减了两次，需要加回来）

核心操作：枚举所有可能的矩形区域

int ans = INT_MAX;
for (int x1 = 1; x1 <= r; ++x1) {
    for (int y1 = 1; y1 <= c; ++y1) {
        for (int x2 = x1; x2 <= r; ++x2) {
            for (int y2 = y1; y2 <= c; ++y2) {
                if (f2(x1, y1, x2, y2) == k) {
                    int moves = (x1 - 1) + (y1 - 1) + (r - x2) + (c - y2);
                    moves += min(x1 - 1, r - x2);
                    moves += min(y1 - 1, c - y2);
                    ans = min(ans, moves);
                }
            }
        }
    }
}

枚举所有可能的矩形区域 (x1, y1) 到 (x2, y2)
对于每个矩形区域，检查其银币数量是否等于 k：
- 如果是，则计算将该矩形区域外的银币移出矩阵所需的最少操作次数
操作次数的计算：
- (x1 - 1)：将矩形区域上方的银币向上移出矩阵
- (y1 - 1)：将矩形区域左侧的银币向左移出矩阵
- (r - x2)：将矩形区域下方的银币向下移出矩阵
- (c - y2)：将矩形区域右侧的银币向右移出矩阵
- min(x1 - 1, r - x2)：将矩形区域上方或下方的银币移出矩阵的额外操作次数（取最小值）
- min(y1 - 1, c - y2)：将矩形区域左侧或右侧的银币移出矩阵的额外操作次数（取最小值）
更新最小操作次数 ans

输出结果

if (ans == INT_MAX) {
    cout << -1 << endl;
} else {
    cout << ans << endl;
}

如果 ans 仍然是 INT_MAX，说明没有找到符合条件的矩形区域，输出 -1。
否则，输出最小操作次数 ans

示例解释

初始银币分布：

. o . .
o o o o
. . o .

通过枚举矩形区域，找到一个银币数量为 3 的区域，例如 (1, 2) 到 (3, 3)
计算操作次数：
- 将上方和左侧的银币移出矩阵，操作次数为 2
输出结果为 2

完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int r, c, k,s[35][35];
char a[35][35];

void f1() {
    for (int i = 1; i <= r; ++i) {
        for (int j = 1; j <= c; ++j) {
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + (a[i][j] == 'o');
        }
    }
}

int f2(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];
}

int main() {
    cin >> r >> c >> k;
    for (int i = 1; i <= r; ++i) {
        cin >> a[i] + 1;
    }
    f1();
    int ans = INT_MAX;
    for (int x1 = 1; x1 <= r; ++x1) {
        for (int y1 = 1; y1 <= c; ++y1) {
            for (int x2 = x1; x2 <= r; ++x2) {
                for (int y2 = y1; y2 <= c; ++y2) {
                    if (f2(x1, y1, x2, y2) == k) {
                        int moves = (x1 - 1) + (y1 - 1) + (r - x2) + (c - y2);
                        moves += min(x1 - 1, r - x2);
                        moves += min(y1 - 1, c - y2);
                        ans = min(ans, moves);
                    }
                }
            }
        }
    }
    if (ans == INT_MAX) {
        cout << -1 << endl;
    } else {
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}