数据结构---最小生成树

一、最小生成树的概念

  （生成树：连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图，若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对于生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路）

    对于一个带权连通无向图G=(,E)，生成树不同，每棵树的权(即树中所有边上的权值之和)也可能不同。设R为G的所有生成树的集合，若7为R中边的权值之和最小的生成树，则T称为G的最小生成树(Minimum-Spanning-Tiee,MST）

  如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身。

  只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林。

二、Prim算法（普利姆算法）

  从某个顶点开始构建生成树；每次将代价最小的新顶点纳入生成树，知道所有顶点都纳入为止。

三、Kruskal 算法 （克鲁斯卡尔算法）

  每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通，(原本已经连通的就不选)，直到所有结点都连通。 （顺序为 学校-P城、矿场-渔村、农村-电站、P城-矿场、农村-P城，至此全部连接）

  四、算法对比

  Prim算法：时间复杂度（与顶点相关），适用于边稠密图O(|V|^2)

  Kruskal算法： 时间复杂度（与边相关），适用于边稀疏图（O|E|log2^|E|）

五、算法实现
  Prim算法：

  设置两个数组，一个用于标记各节点是否加入树，另一个用于表示各节点加入树的最低代价。（如果两边不相连，则最低代价设置为无穷）。

  第一轮处理：循环遍历哥哥节点，找到代价最低的还没有加入树的顶点。然后再次遍历代价数组，更新各个节点的代价值。（如果新加入的顶点与其他顶点代价值更小，因此要进行更新）以此类推

 Kruskal算法： 初始将各个边按照权值大小的顺序排序。
  第一轮：检查第1条边的两个顶点是否连通。

  第二轮：检查第2条边的两个顶点是否连通。（以此类推，直到所有顶点都连通起来，如果以连通 则跳过）

总结：