前缀和及其应用

一、前缀和原理：

        前缀和（Prefix Sum）是计算机科学中的一个重要概念，主要用于快速计算数组或列表中某一段连续元素的和。前缀和数组（Prefix Sum Array）或累积和数组（Cumulative Sum Array）是存储这些前缀和的数组。
定义
给定一个数组 arr，前缀和数组 prefixSum 的第 i 个元素表示 arr 中前 i 个元素的和，即：
                          prefixSum[i]=j=0∑i−1​arr[j]
注意，这里通常假设 prefixSum[0] = 0，表示空的和。
计算前缀和数组
假设我们有一个数组 arr = [1, 2, 3, 4, 5]，我们可以计算它的前缀和数组如下：
prefixSum[0] = 0（空的和）
prefixSum[1] = arr[0] = 1
prefixSum[2] = arr[0] + arr[1] = 1 + 2 = 3
prefixSum[3] = arr[0] + arr[1] + arr[2] = 1 + 2 + 3 = 6
prefixSum[4] = arr[0] + arr[1] + arr[2] + arr[3] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
prefixSum[5] = arr[0] + arr[1] + arr[2] + arr[3] + arr[4] = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
所以，前缀和数组 prefixSum = [0, 1, 3, 6, 10, 15]。使用前缀和数组计算子数组和,假设我们要计算数组 arr 中索引从 l 到 r（包括 l 和 r）的子数组的和，我们可以使用前缀和数组在常数时间内完成这个计算：
                   sum(l,r)=prefixSum[r+1]−prefixSum[l]
例如，要计算 arr 中索引从 1 到 3 的子数组的和，我们可以使用：
            sum(1,3)=prefixSum[4]−prefixSum[1]=10−1=9
这与 arr[1] + arr[2] + arr[3] = 2 + 3 + 4 = 9 是一致的。
优点
快速计算子数组和：使用前缀和数组可以在常数时间内计算任意子数组的和。
空间复杂度：虽然前缀和数组需要额外的存储空间，但空间复杂度是线性的，即 O(n)。
应用
前缀和数组在许多算法和问题中都有应用，例如：
1.范围查询：快速计算数组中的某个范围的和。
2.动态规划优化：在某些动态规划问题中，使用前缀和数组可以优化计算过程。
3.图像处理：在图像处理中，前缀和数组可以用于快速计算图像区域的和或其他统计量。
总之，前缀和是一种简单而有效的技术，可以大大提高某些类型问题的计算效率。

二、区间买土地：

题目1

给定一个整数数组 Array，请计算该数组在每个指定区间内元素的总和。

第一行输入为整数数组 Array 的长度 n，接下来 n 行，每行一个整数，表示数组的元素。随后的输入为需要计算总和的区间下标：a，b （b > = a）[左闭右闭的区间]，直至文件结束。

输出每个指定区间内元素的总和。

输入

5
1
2
3
4
5
0 1
1 3

输出

3
9

数据范围：
0 < n <= 100000

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
    int n,i,ss=0,k,a,b;
    cin>>n;
    vector<int> p(n);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&k);
        ss+=k;
        p[i]=ss;
    }
    while(scanf("%d %d",&a,&b)==2)
    {
        int s;
        if(a==0) s=p[b];
        else s=p[b]-p[a-1];
        printf("%d\n",s);
    }
}

第一个for循环就是记录前缀和的一个数组。

三、开发商购买土地

题目2

在一个城市区域内，被划分成了n * m个连续的区块，每个区块都拥有不同的权值，代表着其土地价值。目前，有两家开发公司，A 公司和 B 公司，希望购买这个城市区域的土地。 

现在，需要将这个城市区域的所有区块分配给 A 公司和 B 公司。

然而，由于城市规划的限制，只允许将区域按横向或纵向划分成两个子区域，而且每个子区域都必须包含一个或多个区块。 为了确保公平竞争，你需要找到一种分配方式，使得 A 公司和 B 公司各自的子区域内的土地总价值之差最小。 

注意：区块不可再分。

第一行输入两个正整数，代表 n 和 m。 

接下来的 n 行，每行输出 m 个正整数。

请输出一个整数，代表两个子区域内土地总价值之间的最小差距。

输入

3 3
1 2 3
2 1 3
1 2 3

输出

0

如果将区域按照如下方式划分：

1 2 | 3
2 1 | 3
1 2 | 3 

两个子区域内土地总价值之间的最小差距可以达到 0。

数据范围：

1 <= n, m <= 100；
n 和 m 不同时为 1。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>

using namespace std;
int main () {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int sum = 0;
    vector<vector<int>> vec(n, vector<int>(m, 0)) ;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> vec[i][j];
            sum += vec[i][j];
        }
    }
    // 统计横向
    vector<int> horizontal(n, 0);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0 ; j < m; j++) {
            horizontal[i] += vec[i][j];
        }
    }
    // 统计纵向
    vector<int> vertical(m , 0);
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        for (int i = 0 ; i < n; i++) {
            vertical[j] += vec[i][j];
        }
    }
    int result = INT_MAX;
    int horizontalCut = 0;
    for (int i = 0 ; i < n; i++) {
        horizontalCut += horizontal[i];
        result = min(result, abs(sum - horizontalCut - horizontalCut));
    }
    int verticalCut = 0;
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        verticalCut += vertical[j];
        result = min(result, abs(sum - verticalCut - verticalCut));
    }
    cout << result << endl;
}