《Java数据结构》这些树和二叉树的性质你还记得吗？_java 二叉树 性质

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有两个点需要注意一下：

1. 树是递归定义的——也就是说树的定义之中还用到了树的定义
2. 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

下面来解释一下这两点：

🌰比如这是一个树

下图的子树T1和T2就是根结点A的子树。当然，D,G,H,I组成的树又是B为结点的子树，E、J组成的树是C为结点的树的子树。

🌰一些非树的例子

上面三个就不是树结构，只有右下角的那个称为树型结构

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树的结点分类

📝树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（Degree） 。

📝度为0的结点称为叶结点(Leaf)或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

🌰如下图，因为这棵树结点的度的最大值是结点D的度，为3，所以树的度为3.

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结点之间的关系

1. **双亲节点或父节点：**若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
2. **孩子结点或子结点：**一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点
3. **兄弟节点：**具有相同父节点的节点互称为兄弟节点

**节点的祖先：**从根到该节点所经分支上的所有节点，如上图对于结点H来说，D、B、A都是他的祖先

**子孙：**以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：B的子孙有D、G、H、I

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树的存储结构

📝树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。（关于其他几种表示法，大话数据结构这本书里有详细的介绍）

我们观察后发现，任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的。因此，我们设置两个结点引用，分别指向该结点的第一个孩子和该结点的右兄弟。

结点结构如表所示：

date	fristchild	rightbrother

class TreeNode {

int date;  // 数据域

TreeNode firstchild;    // 该结点的第一个孩子

TreeNode rightbrother;  // 该结点的右兄弟

}

那么下面的树：

就可以表示成：

这种表示其实就是把一棵复杂的树变成了一棵二叉树

至于二叉树是什么？这也是咱们接下来要重点聊的内容😁

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其他相关概念

📝结点的层次：从一棵树的树根开始，树根所在层为第一层，根的孩子结点所在的层为第二层，依次类推

📝**树的高度或深度：**树中节点的最大层次

📝**堂兄弟节点：**双亲在同一层的节点互为堂兄弟

🌻**森林：**由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

🌻有序树和无序树：如果树中结点的子树从左到右看，谁在左边，谁在右边，是有规定的，这棵树称为有序树；反之称为无序树。

在有序树中，一个结点最左边的子树称为"第一个孩子"，最右边的称为"最后一个孩子"。

二、 二叉树

二叉树的概念

🌻简单地理解，满足以下两个条件的树就是二叉树：

1. 本身是有序树；
2. 树中包含的各个节点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2；

🌰例如，图 1a) 就是一棵二叉树，而图 1b) 则不是。

再深入的理解就是：

📝 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

🍑 从上图可以看出：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

🍑 自然界的二叉树：

🍑我们数据结构要研究的二叉树：

📝特殊的二叉树

🍑如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树

🍑如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树

如图 3a) 所示是一棵完全二叉树，图 3b) 由于最后一层的节点没有按照从左向右分布，因此只能算作是普通的二叉树。

其实完全二叉树类似这下面这种情况

从中我们也可以发现一些规律，如果一个完全二叉树的某一个结点没有右子树，那么该结点一定没有左子树，有右子树就一定得有左子树。它从左到右一定是连续的，中间不能出现空的。

🔔同时我们需要注意一个慢二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

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二叉树的性质

**性质一、**若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

我们来观察下面的图形

经过归纳分析，我们很容易得出这个结论

**性质2：**若规定根节点的层数为1，则深度为k的二叉树的最大结点数是2^k - 1 .（深度为k意思就是有k层的二叉树）

我们前面已经知道，一棵非空二叉树的第i层上2^(i-1) 个结点，那么k层的二叉树的结点树不就是首项是1、公比是2的等比数列求和吗？

**性质3：**对任何一棵非空二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有n0 ＝n2 ＋1

📝对于二叉树来说，我们会发现（除了根节点）对于每一个结点来说，都有其对应父结点分支指向它，假设树中分枝数为 B，那么总的结点数就是B+1

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枝数为 B**，那么总的结点数就是B+1

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