[优选算法专题四.前缀和——NO.25一维前缀和]-优快云博客

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代码逐部分解析

读取输入数据

int n, q;
cin >> n >> q;
vector<int> arr(n + 1);  // 数组下标从1开始（便于前缀和计算）
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> arr[i];

n 表示数组的长度，q 表示查询的次数。
定义arr数组时大小为n+1，且从下标1开始存储元素（而非 0），这是为了后续前缀和计算更方便（避免处理i=0的边界问题）。

构建前缀和数组dp

vector<long long> dp(n + 1);  // 用long long防止整数溢出
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];
}
dp是前缀和数组，其中dp[i]表示arr[1] + arr[2] + ... + arr[i]的和。
采用long long类型是为了避免当数组元素较大或n较大时，累加和超过int的范围导致溢出。
递推关系：dp[i] = dp[i-1] + arr[i]，即前i个元素的和 = 前i-1个元素的和 + 第i个元素。

处理区间和查询

int l = 0, r = 0;
while (q--) {
    cin >> l >> r;
    cout << dp[r] - dp[l - 1] << endl;
}
每次查询输入区间[l, r]，需要计算arr[l] + arr[l+1] + ... + arr[r]。
利用前缀和数组的性质：区间[l, r]的和 = 前r个元素的和 - 前l-1个元素的和，即dp[r] - dp[l-1]。
这种查询方式的时间复杂度是O(1)，配合预处理的O(n)时间，整体效率远高于每次查询都遍历区间的O(n*q)复杂度，尤其适合q较大的场景。

注意：为什么下标要从一开始❓

1. 前缀和公式更直观

前缀和数组dp[i]的定义是 “前i个元素的和”（即arr[1] + arr[2] + ... + arr[i]）。当计算区间[l, r]的和时，公式为：区间和 = dp[r] - dp[l-1]

如果下标从 1 开始：

当l=1时，l-1=0，而dp[0]可以自然定义为0（前 0 个元素的和），此时公式变为dp[r] - dp[0]，直接等于arr[1]到arr[r]的和，无需额外处理边界。

2. 避免下标越界或特殊判断

如果下标从 0 开始：

前缀和dp[0]表示arr[0]的和，dp[i] = dp[i-1] + arr[i]。
当查询区间[0, r]时，区间和需要用dp[r] - dp[-1]，但dp[-1]是无效下标（越界），此时必须单独判断l=0的情况（比如让dp[-1]等价于 0），会增加代码复杂度。