图灵完备——游戏中进行实践

简述

  这周就要学习计算机组成原理了，为了学起来不那么吃力，我很早以前就下好了这款游戏——图灵完备。
  现在已经玩了一段时间了，涉及的内容是数字逻辑里面的，整体上难度不太大，随着游戏的深入，涉及的内容会更加全面，而查找的内容可能也更广泛一些。
  后来想了想还是打算在这里记录一下吧，从根本的原理上去讲解，以及之前所学的知识如何在这款游戏里去应用。当然，讲解的话肯定需要学latex，而学习latex正好也满足manim的需求，所以说也正合适。
  不定期更新，尽量能完美解决这个游戏的所有问题，但由于一边游玩一边写文稿一边学习相关内容，比较耗费时间，所以不知道什么时候会完结，下面就开始吧。

结构

  整体上的结构划分以游戏内给的结构为主，然后整体中部分讲解则遵循从左到右，从下到上的顺序讲解把，难度不一定统一，但是整体上也大差不差。

一、基本逻辑电路

  这里是最基本的了，我也不按照游戏的进度来，直接将此前涉及到的各个门的真值表给出来吧。由于使用manim中的latex编写表格，其中的中文字符无法写出来，由于还没有深入研究，下面的输出就用op（output）来代表吧，然后输入就用对应的字符ABCD这种来表示吧。另外，下面的排序是无序的，对应实现的门在游戏中已经激活了，所以整体上看看就行。

1、低电平

  可以看到，不论输入1还是0，输出总是0。

2、高电平

  可以看到，不论输入1还是0，输出总是1。
效果图：

注：不一定是最简的。图中AND是与门，N是非门。

3、非门

  输入结果跟输出结果正好相反。
效果图：

注：NAND是与非门

4、与门

效果图：

注：NAND是与非门

5、三路与门

6、或门

注：NAND是与非门

7、三路或门

8、与非门

9、或非门

10、异或门

注：上述肯定不是最优解法，很早之前弄的了，当时的思想应该是胡乱弄的。

11、同或门

二、算数运算&&存储器

1、二进制速算

  这里的二进制速算，我以为直接运算二进制，后来发现不是，而是将其转换到了十进制，整体上难度不是很大。

2、成对的麻烦

题目

输入及预期输出

  像这种问题，如果单纯地来思考的话，肯定比较困难，而此时就涉及到了数字逻辑中的基础部分，我们来分析一下题目，以及结合数字逻辑知识如何解决。
首先，这里有4个输入，我们按照二进制顺序方式，可以将输入4-1分别用字母ABCD来表示，下面我列出了输入输出的真值表。

  先说明一下，为什么从输入4-1为ABCD而不是正向的输入1-4为ABCD。我上面说的采取排序方式是按照二进制顺序方式，这种方式是书上一般的排序方式，也就是我上面真值表从上到下的排序方式。而游戏中，按照输入4-1的方式读取输入的话，从左到右，刚好满足二进制顺序方式，所以为了统一，尤其是真值表与游戏输入对应的原则，我们还是简单地改变一下看输入的方向就可以了。
  没看懂我说的也没关系，通俗一些讲，就是真值表中ABCD分别对应游戏中的输入4、输入3、输入2、输入1。
  画出来真值表后，我们可以根据其中输出的0、1的数量，选择少的那部分来描述出最简电路。这里的输出0的数量最少，那我们就从这个为切入点来进行对应运算。
  下面我给出上面真值表对应的最大项和最小项。

注：上面表格还是那个问题，无法显示中文，最大项、最小项用max、min代替。另外，斜线也无法显示，所以空着的地方表示无。
  从上面的表格中可以看出来，最大项跟最小项本身是互补的，我们可以将最大项、最小项分别化成最简的，也是有两种表示方式（与或、或与），所以对于这类问题，总会用两种最简的方法解决。如果按照一开始的二进制排序方式规定的话，对于最小项来说，从上到下依次为$m_0$->$m_{15}$。我们何时选取最小项？看上面图的话可以看到输出为1时选取对应的最小项，而输出为0时选取对应的最大项。
  最小项表示方式：$$\sum m(3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,)$$
  最大项表示方式：$$\prod M(0,1,2,4,8)$$
  当然，按照上述方法判断最小项没有错，做题也没问题，但是从本质上来说，最大项的判断方法并不对。找最大项的方法其实同样也是需要找输出为1的。但是呢，找最大项需要将输入取反。输入取反之后，其对应的输出也就取反了。所以，此时的真值表跟上面的相比就从上到下反过来了。为了方便理解，我下面再贴张图。

  结合上图来看，我们ABCD取反后找输出为1的最大项，其实跟一开始不取反，找输出为0的为最大项，结果上是一样的，但为什么要说本质呢？因为之后做题的话，解析可能会详解，但是如果本质理解错了，可能解析看不太明白。所以迅速做题的话，按照我一开始的方法就好，但本质要清楚。我们再来看看书上对于真值表找最小项、最大项是怎么说的。
最小项： 下标$i$的取值规则是：按照变量将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即为下标$i$的值。例如3变量A，B，C构成最小项$A\overline{B}C$可以用$m_5$来表示。
最大项： 下标$i$的取值规则是：按照变量顺序将最大项中的原变量用0表示，反变量用1表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标$i$的值，例如，3变量A，B，C构成的最大项$\overline{A}+B+\overline{C}$可用$M_5$表示。
  好的，明白了上面内容，我们再继续。为了方便解题，我们用项数少的来解，也就是用最大项。找到最大项之后，其实就已经找到结果了。也就是：
$op=(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}+\overline{D})\bullet (\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}+D)\bullet (\overline{A}+\overline{B}+C+\overline{D})\bullet (\overline{A}+B+\overline{C}+\overline{D})\bullet (A+\overline{B}+\overline{C}+\overline{D})$
注：如果按照一上来输出为0的到的最大项，千万不要忘了对输入去反再读取。如果按照上面输出为1得到的最大项，直接读取对应项就行！！！
  然后我们按照这个规则进行电路连接就好了，肯定可以的。
  话是这么说，可是这并不是最简电路。所以为了得到最简电路，接下来我们需要对输出结果进行化简。怎么化简呢？仍然选择书中的卡诺图化简法。当然可以直接化简，不过我对应公式都忘了，所以还是用通俗的卡诺图化简法来解决吧，这在考试中会考的。
  由于这是一个四项输入的，所以我们需要一个4x4的表格。将输入ABCD拆分为AB、CD两个部分。AB占据上表头，CD占据左表头。AB的四个表头从左到右依次为00,01,11,10，CD的左表头从上到下依次为00,01,11,10。注意这俩并不是按照二进制排序的。如果看不懂的话，可以比照我下面的图来对照一下。

注：还是那个问题，AB、CD中间的斜线显示不出来，凑活看看吧。

  卡诺图化简我是纯靠“感觉”来的，下面分享一下我的“感觉”。这种“感觉”最好还是做几道题目，总结一下，要不然可能会有错误。
  卡诺图最大项化简需要好几次取反，而最小项化简不用取反。我们先用最小项讲解一下，然后再用最大项做。
  哎，早知道用manim生成图像的时候标注好图几了，现在找图还不好描述找哪个图。现在先凑活看一下吧，后续的内容会标注好图几的。
  从上面真值表找到对应的最小项，然后将对应的最小项放到卡诺图中，存在的就标1，由此就得到了下面的图。

  接下来就是画圈了，可以看到，项数越多，相对而言画圈就越难画，所以还是选择项数少的来做。先说一下画圈的规则。
1、圈的1的数量为2ⁿ个，比如全3个的话就不行。
2、圈尽可能少而大。
3、圈中至少有一个未被圈的1。
4、卡诺图是封闭的。
  基于上述规则，我们来圈一下。我用manim可以圈，不过，卡诺图是连续的，所以我们将内部4x4网格拿出来，将其想象成一个球，所以还存在特殊的画图方式，不过我不清楚我会不会用manim画出来。这个题目没受影响，我们直接画就好了。查找了一下，manim竟然有table类，我还苦苦地用latex在manim中写。
  又去学manim的table。ai了好一会，还是不行，等抽空专门学学吧。