计算机组成原理之机器数的表示

文章目录

前言
原码，反码，补码
- 相互转换
定点数表示
- 定点小数表示范围
- 定点整数表示范围
浮点数表示

前言

受众：新手？零基础突击期末？（也许吧，定位不准，也许谁都不适合，写个乐子）

机器数是指真值按照某种编码方式进行编码后的数值。真值是实际的数值，而机器数则是这个数值在计算机内部的二进制表示。机器数分为无符号数和有符号数两种。无符号数只表示数值本身，而有符号数则需要一个符号位来表示正负。本文以有符号数介绍为主。

无符号数请参考：链接: 无符号数

正文开始

原码，反码，补码

原码：对于正数，原码就是其绝对值对应的二进制数，符号位为0；对于负数，原码也是其绝对值对应的二进制数，符号位为1

反码：对于正数，反码与原码相同；对于负数，反码是其绝对值的原码按位取反。例如，真值+1010的反码为0,1010；真值-1010的反码为1,0101

补码（简化减法运算而引入）：对于正数，补码与原码相同；对于负数，补码是其绝对值的原码按位取反后加1。

移码：同一数值的移码和补码，除了符号位相反，即移码是正数变为1，负数变为0，其他各位同补码相同。作用：能直观反应数值的大小（就是说不用先去判断这个数是正是负，数值上哪个大就是哪个大）

相互转换

原转补：
法1.符号位不变，数值部分取反加1
法2.符号位不变，自低位向高位（自右向左），第一个1及其右边的0保持不变，其他数值位全部取反
补转原：
法1.符号位不变，减1再取反
法2.补码的补码即是原码，对补码按求补的方式再次求补可得原码

定点数表示

~~太简单了~~
定点数是指小数点位置固定的数，分成定点小数和定点整数

定点小数表示范围

（这里的n是数值位位数，不包括符号位）
原码：

正数最大0.1111111…即1-2^-n
正数最小0.0000001…即2^-n
负数绝对值最大1.1111111…即-(1-2^-n)
负数绝对值最小1.0000001…即-2^-n
补码：
正数最大0.1111111…即1-2^-n
正数最小0.0000001…即2^-n
负数绝对值最大1.0000000…即-1
负数绝对值最小1.0000001…即-2^-n

定点整数表示范围

（这里的n是数值位位数，不包括符号位）
原码：

正数最大01111111…即2ⁿ-1
正数最小00000001…即1
负数绝对值最大11111111…即-(2ⁿ-1)
负数绝对值最小10000001…即-1
补码：
正数最大01111111…即2ⁿ-1
正数最小00000001…即1
负数绝对值最大10000000…即-2ⁿ
负数绝对值最小10000001…即-1

对于定点数而言，原码和反码的表示范围相同滴，且都关于0对称
而补码相对而言可以多表示一个最“负”的数，如-2ⁿ（整数）和-1（小数）

个人理解：
因为原码表示0有1000…和0000…，反码有1111…和0000…，都有两种，而补码只用0000…表示0，在位数相同的情况下，0，1的组合数的个数相同，所以补码会多一个数用来表示最“负”的数

浮点数表示

基本格式

规格化格式

尾数范围： $\frac{1}{2}$ $\leq$ $∣ M ∣$ < 1
原码尾数：

正数：0.1XXX
负数：1.1XXX
补码尾数：
正数：0.1XXX
负数：1.0XXX

对于补码负数尾数范围： $\frac{1}{2}$ < $∣ M ∣$ $\leq$ 1
-0.5的原码是1.1000…，是规格化的
但-0.5的补码1.1000…，是非规格化的，需要左规一位
变成1.000…X 2^-1才是规格化的

转非规格化为规格化

通过左移或者右移尾数，将尾数转化为标准格式

左移一位，相当于将尾数乘以2，阶码对应减一，称为左规
右移一位，相当于将尾数除以2，阶码对应加一，称为右规

IEEE754标准

在这里插入图片描述

单精确度float：32位，包括1位符号位、8位指数位（移码）和23位尾数位（原码）。
双精确度double：64位，包括1位符号位、11位指数位（移码）和52位尾数位（原码）。
注意点：

一般的移码偏置值是2ⁿ,但IEEE754中，移码的偏置值是2ⁿ-1,如float偏置值是127，double偏置值是1023（n是数值位位数，不包括符号位）
尾数隐含1，IEEE 754标准规定，浮点数的尾数部分采用原码表示，并且在最高有效位（即最左侧位）之前隐含了一个1

原因：浮点数尾数采用原码表示，数值位最高位总是1，为了节省存储空间，使得尾数部分能够表示更多的有效数字，故采用尾数隐含1表示

特殊值：
- 阶码为0，尾数为0，表示机器0
- 阶码为全1（如float阶码为255），尾数为0，表示 $+\infty$ 或者 $-\infty$ （取决于符号位）

题目

来写题目，具体体会下
题1
float型数据通常用IEEE754单精度浮点数格式表示，若编译器将float型　变量x分配在一个32位浮点寄存器FR1中，且x=-8.25，则FR1的内容是（十六进制）（）
A. C1C2 0000H
B. C184 0000H　
C. C104 0000H
D. C242 0000H

答案: C
解：
-8.25，是负数，所以m_s=1，
8.25二进制1000.01=1.00001 X 2³（小数点前的1是数值，是要隐含的1，不是符号位，符号位已经处理过了）
尾数数值部分（共23位，不够则在后面补0）：000 0100 0000 0000 0000 0000
阶码部分：3 + 127（偏置值）= 129 = 128 + 2=1000 0010
填入对应位置得1100 0001 0000 0100 0000 0000 0000 0000，即C104 0000H，故选C

题2.
对于二进制数 1011 1110 0110 0000 0000 0000 0000 0000，表示一个IEEE754标准的单精度浮点数，其真值是多少?