《最小生成树算法详解：Kruskal的优雅实现》_.图用邻接矩阵存储,实现克鲁斯卡尔算法。-优快云博客

前置知识和本篇介绍

Kruskal算法需要借助以下两种数据结构。请读者朋友务必掌握后再阅读此篇。
前置知识： 数据结构:优先级队列[可以用排序替代]- 数据结构:并查集
编程语言:Java/C++.

不是所有图算法都要依赖建图，Kruskal算法是典型的不建图就可以用的图算法之一。

本篇介绍—最小生成树的概念以及Kruskal算法（读作克鲁斯卡尔算法，一般可以用K算法代称）。另外最小生成树算法还有一个Prim算法（普林算法），这一篇我发到另一篇文章[探究经典Prim算法写法](https://blog.youkuaiyun.com/2303_79972050/article/details/144041234?spm=1001.2014.3001.5501)

《最小生成树算法详解：Kruskal的优雅实现》

一. 引言

什么是最小生成树（MST）？
简要介绍 Kruskal 算法的核心思想和优势。

一家通信公司试图建立其各个计算机中心的通信联系。
它可以通过租用电话线连接任意之间的一对，但不过这样成本太高了。
能保证计算机中心能两两之间有通路即可吗？
比如这样以下的一个无向图，如何保证其连通呢？
离散数学告诉我们，简单连通无向图保证连通性是一棵树，树状结构就可以保证连通性，这棵树叫做生成树。
而这个图还带有权值，由此衍生处一个最小生成树的概念。即生成树各边的权值之和最小的生成树。

以下是来自wiki的图，顶点表示计算机中心，顶点之间用边表示，其中边带有属性的权值就是费用。
从一个图中抽掉那些高昂的费用但不破坏图的连通性。
由于我们只需要保证连通和最低费用就可以了。任意两个顶点之间只需要一条边连接就足够了。（生成树）
那么，按照上述删除连通无向图中的边的最终结构会形成一棵树（如下图黑色的边形成的树）。
这棵树就是最小生成树。
在这里插入图片描述

最小生成树的两种算法都是基于贪心的策略，即寻找局部最优解。
Kruskal算法是一种贪心算法，它从边的角度出发，用于带权无向图在寻找最小生成树。
下面讲述最小生成树的性质和算法流程。

2. 最小生成树的性质

什么图具有最小生成树：
- 1. 满足无向,带权,连通这些特征的图具有最小生成树。
- 1. 生成树对于无向连通图的概念，最小生成树要针对带权图，否则就无"最小"的概念。
- 1. 生成树存在是最小生成树存在的必要条件，对于无向带权图来说，只要存在一棵生成树，那么最小生成树就是它本身；如果存在多棵生成树，那么最小生成树就是生成树权值比较最小的结果。
最小生成树的定义：
- 连通图中所有的顶点并且边权重之和最小的树结构。
相关性质：
- 最小生成树本质是树结构，它满足树的性质
- 生成树的边数为 $n - 1$ ,n是无向连通图的顶点个数。
- 不会成环。
- 如何判断最小生成树是否存在？道理很简单，dfs或者bfs判断连通性即可，或者可以统计边数是否满足n-1(下面的代码也是通过这种方式证明最小生成树不存在的)。
最小生成树不唯一：
最小生成树的权值要求最小，但边的组织可能不同，因此结构并不唯一。存在多种最小生成树结构（最小权重和是相同的）。

3. Kruskal 算法详解

3.1 Kruskal 的核心思想
- 每次选择最小的边，将边添加进最小生成树结构里。期间可能存在成环情况（这里借助并查集判环，具体细节看代码部分），直到添加n-1条边结束。
3.2 算法流程
- 1. 若题目中给了图或者可以选择一种建图方式自己建好图，遍历图中所有的边将它们排好序；或者，收集好边的信息（两个端点，权重）
- 1. 按边权值升序排序。
- 1. 使用并查集判断边是否形成环。（具体逻辑是判断两个端点是否在同一集合，若存在则端点已经添加进最小生成树了必须舍弃该边; 否则加入最小生成树，并两个端点合并到一个集合）
- 1. 逐步加入边，直到添加到n-1条边为止。
3.3 为什么正确性
基于贪心的策略，每次选择权值最小的边且这条边不会成环或破坏连通性。局部最优 == 全局最优。严格证明不必纠结。
如果读者纠结证明可以阅读相关帖子，算法导论，或者直接读原作者的论文。

4. Kruskal 算法的实现

4.1 数据结构选择
- 使用并查集（Union-Find）O(1)的时间进行合并，高效地检测环。
- 前面可以通过排序数组，可以选择优先级队列或者更多广泛的堆结构（可合并堆）。
4.2 实现细节
- 对边信息的处理
- 并查集实现:路径压缩,按秩优化（我这里代码并未实现）
4.3 Java代码实现
Kruskal模板题

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.util.Arrays;
public class Main{
   
    //最大数据量
    public static int MAXN = 5001;
    public static int MAXM = 200001;
    
    //并查集模板数组
    public static int[] father = new int