【算法】二进制，状态压缩专题

在算法竞赛中，二进制运算因其高效性和简洁性被广泛应用于优化时间复杂度、空间复杂度以及代码实现。持续更新中…

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一、二进制基础运算规则

1. 基本位运算符

运算符	符号	定义（按位操作）	示例（二进制）
与	&	全1为1，否则为0	1010 & 1100 = 1000
或	`	`	有1为1，全0为0
非	~	取反（注意补码符号位）	~1010 = 0101（假设4位）
异或	^	相同为0，不同为1	1010 ^ 1100 = 0110

2. 移位运算

操作	符号	定义	示例（二进制）
左移	<<	低位补0，高位溢出丢弃	1010 << 2 = 101000
逻辑右移	>>>	高位补0，低位溢出丢弃（无符号数）	1010 >>> 2 = 0010
算术右移	>>	高位补符号位（有符号数）	1010 >> 2 = 1110（假设4位补码）

3. 运算优先级

优先级从高到低：~ → <<, >> → & → ^ → |
注意：建议使用括号明确优先级，避免混淆。

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二、算法竞赛高频套路

1. 位掩码（Bitmask）

• 用途：用整数二进制位表示集合状态（如子集、开关状态）。
• 示例：枚举集合 {a, b, c} 的所有子集：

	// 枚举所有子集
	vector<int> nums = {1, 2, 3};
	int n = nums.size();
	for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
	    vector<int> subset;
	    for (int i = 0; i < n; i++) {
	        if (mask & (1 << i)) {
	            subset.push_back(nums[i]);
	        }
	    }
	    // 处理 subset
	}

2. 快速判断与操作

• 奇偶判断：x & 1 → 1为奇数，0为偶数。
• 最低位的1：lowbit = x & -x（如 12 (1100) → 4 (100)）。
• 判断2的幂：(x & (x-1)) == 0（如 8 (1000) → True）。

3. 异或（XOR）魔法

• 交换变量：a ^= b; b ^= a; a ^= b;（无需临时变量）。
• 找唯一数：数组中其他数出现两次，找唯一出现一次的数：
  a^a=0 ,b^0=b

	int singleNumber(vector<int>& nums) {
	    int res = 0;
	    for (int num : nums) res ^= num;
	    return res;
	}

• 消除重复：x ^ x = 0，x ^ 0 = x。

4. 状态压缩动态规划

• 场景：用二进制位表示状态（如旅行商问题TSP、棋盘覆盖）。
• 示例：TSP问题中记录已访问城市的状态：

  dp[mask][i] = 最短路径，其中 mask 表示已访问的城市集合，i 表示当前位置。

5. 位运算优化

• 快速乘除2的n次幂：对正数 x << n 等价于 x * 2^n，x >> n 等价于 x // 2^n。
• 快速幂算法：利用二进制分解指数：

ll mod_pow(ll a, ll b, ll mod) {
    ll res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)
            res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

6. 统计二进制中1的个数

		1.统计二进制中 1 的个数
		int count = __builtin_popcount(x);       // 32位整数
		int count = __builtin_popcountll(x);     // 64位整数
		
		2. ​前导零（Leading Zeros）​
		int leading_zeros = __builtin_clz(x);     // 例如 x=1 (0001) → 31（32位下）
		int leading_zeros = __builtin_clzll(x);  // 64位版本
		
		3. ​末尾零（Trailing Zeros）​
		int trailing_zeros = __builtin_ctz(x);   // 例如 x=8 (1000) → 3

7. 格雷码生成

• 二进制转格雷码：gray = x ^ (x >> 1)。
  $G_i=B_{i+1}\oplus B_i$

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8. 函数

__lg() 函数是一个非标准的函数，只在部分编译器中支持，它返回一个整数值，表示输入参数的二进制表示中最高位1的位置（从0开始计数）。例如，__lg(8)将返回3，因为8的二进制表示是1000，最高位1在第3位。

log2() 函数是C++11标准中提供的函数，它返回一个浮点数值，表示以2为底的对数。例如，log2(8)将返回3.0，因为8等于2的3次方。它们的返回值类型不同，前者返回整数，后者返回浮点数。另外，__lg()是非标准函数，只在部分编译器中支持，而log2()是C++11标准库中的函数，在大部分编译器中都可以使用。

__builtin_clz() 前导零统计函数

__builtin_clz(unsigned int x)        //用于无符号整数
int__builtin_clzl(unsigned long x)        //用于无符号长整数
int__builtin_clzll(unsigned long long x)        //用于无符号长长整数

//求最高有效位的位置
unsigned msb(unsigned x)
{
    return sizeof(unsigned) * CHAR_BIT - 1 - __builtin_clz(x);
}
//功能上等价于
__lg(x)
floor(log2(x))

__builtin_popcount() 统计二进制中为1的位数的函数

__builtin_popcount (unsigned int)        //用于无符号整数

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三、注意事项与陷阱

1. 位移溢出：左移超过数据类型位数时结果未定义（如 1 << 100 在32位整数中会溢出）。
2. 符号位问题：右移有符号数时使用算术右移（负数补1），可能导致意外结果。
3. 优先级混淆：a & b == c 实际等价于 a & (b == c)，需用括号明确优先级。

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