数据结构——二叉树

原创于 2025-03-16 12:27:29 发布

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1. 树形结构

1. 概念

树是⼀种⾮线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每⼀个集合Ti

(1 <= i <= m) ⼜是⼀棵与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有0个或多个后继

• 树是递归定义的

注意：树形结构中，⼦树之间不能有交集，否则就不是树形结构

结点的度：⼀个结点含有⼦树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6

树的度：⼀棵树中，所有结点度的最⼤值称为树的度；如上图：树的度为6

叶⼦结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

双亲结点或⽗结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点；如上图：A是B的⽗结点

孩⼦结点或⼦结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点；如上图：B是A的孩⼦结点

根结点：⼀棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的⼦结点为第2层，以此类推

树的⾼度或深度：树中结点的最⼤层次；如上图：树的⾼度为4

⾮终端结点或分⽀结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分⽀结点

兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同⼀层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2. 树的表⽰形式

双亲表⽰法，孩⼦表⽰法、孩⼦双亲表⽰法、孩⼦兄弟表⽰法

//孩⼦兄弟表⽰法
class Node{

    int val;//存储树节点的数据
    Node firstChild;//指向第一个孩子
    Node nextBrother;//指向兄弟节点
}

2. 二叉树

1. 概念

⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合：

1. 或者为空

2. 或者是由⼀个根节点加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成

注意：对于任意的⼆叉树都是由以下⼏种情况复合⽽成

1. ⼆叉树不存在度⼤于2的结点

2. ⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树

2 两种特殊的⼆叉树

1. 满⼆叉树: ⼀棵⼆叉树，如果每层的结点数都达到最⼤值，则这棵⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说，如果⼀棵⼆叉树的层数为K，且结点总数是 $^{{_{2}}^{K}}$ -1 ，则它就是满⼆叉树。

2. 完全⼆叉树: 完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。对于深度为K的，有n个结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从0⾄n-1的结点⼀对应时称之为完全⼆叉树。要注意的是满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树。

3. ⼆叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ (i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的⼆叉树的深度为1，则深度为K的⼆叉树的最⼤结点数是 $2^{k}-1$ (k>=0)

3. 对任何⼀棵⼆叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的⾮叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

4. 当二叉树的总结点个数为偶数时，n1=1；

当二叉树的总结点个数为奇数时，n1=0。（n1即节点有一条边）

5. 具有n个结点的完全⼆叉树的深度k为 $\log_{2}(n-1)$ 向上取整

6. 对于具有n个结点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

◦ 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，⽆双亲结点

◦ 若2i+1<n，左孩⼦序号：2i+1，否则⽆左孩⼦

◦ 若2i+2<n，右孩⼦序号：2i+2，否则⽆右孩⼦

4. ⼆叉树的存储

⼆叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储

⼆叉树的链式存储是通过⼀个⼀个的节点引⽤起来的，常⻅的表⽰⽅式有⼆叉和三叉表⽰⽅式，

/ 孩⼦表⽰法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩⼦的引⽤，常常代表左孩⼦为根的整棵左⼦树
    Node right; // 右孩⼦的引⽤，常常代表右孩⼦为根的整棵右⼦树
}

// 孩⼦双亲表⽰法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩⼦的引⽤，常常代表左孩⼦为根的整棵左⼦树
    Node right; // 右孩⼦的引⽤，常常代表右孩⼦为根的整棵右⼦树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

5. ⼆叉树遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做⼀次且仅做⼀次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应⽤问题(⽐如：打印节点内容、节点内容加1)。

层序遍历

层序遍历就是从所在⼆叉树的根节点出发，⾸先访问第⼀层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，⾃上⽽下，⾃左⾄右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

• NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)⸺访问根结点--->根的左⼦树--->根的右⼦树。（根左右）

• LNR：中序遍历(Inorder Traversal)⸺根的左⼦树--->根节点--->根的右⼦树。（左根右）

• LRN：后序遍历(Postorder Traversal)⸺根的左⼦树--->根的右⼦树--->根节点。（左右根）

// 前序遍历
void preOrder(Node root);
// 中序遍历
void inOrder(Node root);
// 后序遍历
void postOrder(Node root);

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

1. 已知前序遍历和中序遍历，求后序遍历

步骤：

前序遍历的第一个结点是根结点。
在中序遍历中找到根结点的位置，根结点左侧是左子树的中序遍历，右侧是右子树的中序遍历。
根据左子树和右子树的结点数量，在前序遍历中划分左子树和右子树的前序遍历
递归处理左子树和右子树。

2. 已知中序遍历和后序遍历，求前序遍历

步骤：
1. 后序遍历的最后一个结点是根结点。
2. 在中序遍历中找到根结点的位置，根结点左侧是左子树的中序遍历，右侧是右子树的中序遍历。
3. 根据左子树和右子树的结点数量，在后序遍历中划分左子树和右子树的后序遍历。
4. 递归处理左子树和右子树。

3. 已知前序遍历和后序遍历，无法唯一确定中序遍历

只有在二叉树是满二叉树或真二叉树（每个结点都有 0 或 2 个孩子）时，才能唯一确定中序遍历。

例题

100. 相同的树 - 力扣（LeetCode）

572. 另一棵树的子树 - 力扣（LeetCode）

101. 对称二叉树 - 力扣（LeetCode）

110. 平衡二叉树 - 力扣（LeetCode）（绝对值<1&&左右树平衡）

题解 | 二叉树的构建及遍历_牛客网

102. 二叉树的层序遍历 - 力扣（LeetCode）

226. 翻转二叉树 - 力扣（LeetCode）

958. 二叉树的完全性检验 - 力扣（LeetCode）

236. 二叉树的最近公共祖先 - 力扣（LeetCode）

105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）

106. 从中序与后序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode）

144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）