【算法复杂度】-优快云博客

2.2 时间复杂度是什么？

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢。

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数式T(N),它定量描述了该算法的运行时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率，那为什么不去计算程序的运行时间呢？

因为程序运行时间和编译环境与运行机器都有关系，比如一个算法的程序，用一个老编译器进行编译和新编译器编译，在同样的机器下运行时间不同。
同一个算法程序，用一个老低配置机器和新高配置机器，运行时间也不同。
并且时间只能写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。

假设每条指令的执行时间基本一样（实际中有差别，但是微乎其微），那么执行次数就和运行时间就是等比正相关，这样也脱离了具体的编译环境。执行次数就可以代表程序时间效率的优劣。

实际中我们计算时间复杂度时，计算的也不是程序的程序的精确的执行次数，精确执行次数计算起来还是很麻烦的（不同的一句程序代码，编译出的指令条数都是不一样的），计算出精确的执行次数意义也不大，因为我们计算时间复杂度只是相比较算法程序的增长量级，也就是当N不断变大时T(N)的差别，实际上当N不断增大时常数和低阶项对结果影响很小，所以我们只需要计算程序能代表增长量级的大概执行次数，复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法。

大O的渐进表示法：

——————是用来描述函数行为的数学符号。规则如下：

时间复杂度函数式T(N)中，只保留最高阶项，去掉那些低阶项。因为N不断变大时，低阶项对结果影响越来越来小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。
如果最高阶项的存在且系数不是1，则去除这个项的系数，因为当N不断变大时，这个系数对结果的影响就越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。
T(N)中如果没有N相关的项，只有常数项，用常数1代表所有加法常数。

eg1:

若表示出来T（N)=100,则时间复杂度为：O（1）；

eg2:

若表示出来T（N）=2N^2+100,则时间复杂度为：O（N^2）；

eg3:

若表示出来T（N）=2N+100，则时间复杂度为：O（N）；

eg4:

若表示出来T(N)=2N^2+2N+100，则时间复杂度为：O（N^2)；

eg5:
计算strchr的时间复杂度
const char* strchr(const char* str, int character)
{
	const char* p_begin = s;
	while (*p_begin != character)
	{
		if (*p_begin == '\0')
		{
			return NULL;
		}
		p_begin++;
	}
	return p_begin;
}
strchar执行的基本操作次数：

若要查找的字符在字符串的第一个位置，则T（N）=1；
若要查找的字符在字符串的最后一个位置，则T（N）=N；
若要查找的字符在字符串的中间位置，则T（N）=N/2;

因此，strchr的时间复杂度分为：

最好情况:O(1) 最坏情况:O(N) 平均情况：O(N/2)

通过上面我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好，最坏，平均的情况。

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上限）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下限）

总结：大O的渐进表示法在实际中一般情况关注的是算法的上界，也就是最坏运行情况。

2.3 空间复杂度是什么？

空间复杂度主要衡量一个算法运行所需的额外空间。

计算机在发展早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度了。

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中需要额外临时开辟的空间。空间复杂度不是程序占用了多少个byte的空间，因为常规情况每个对象大小差异不是很大，所以空间复杂度算的是额外临时开辟的变量的个数。

空间复杂度计算的规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O的渐阶表示法。

PS：函数的运行时所需要的栈空间（存储参数，局部变量，一些寄存器信息等等）在编译期间已经确定好了，因为此复杂度主要是通过函数在运行时显示申请的额外空间来确定。

eg:
//计算阶乘 递归fac的空间复杂度
long long fac(size_t n)
{
	if (n == 0)
	{
		return 1;
	}
	return fac(n - 1) * n;
}
fac递归调用了n次，额外开辟了n个函数栈帧，每个函数栈帧使用了常数个空间，因此空间复杂度为O（N）。