游戏开发中的贝塞尔曲线:感受丝滑的数学之美

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介绍

贝塞尔曲线是计算机图形学中最重要的概念之一，以其在表示曲线时的灵活性和精确性而闻名。广泛应用于计算机图形学、动画、路径规划等领域的数学曲线。

贝塞尔曲线的数学原理基础是1912年成立的伯恩斯坦多项式。

简单来说,贝塞尔曲线是通过可变数量的点定义的。当控制点只有两个时,绘制出来的是一条直线,也称为线性贝塞尔曲线。

具有三个控制点的贝塞尔曲线是 二次贝塞尔曲线,四个点控制的则是三次贝塞尔曲线,以此类推。

其中,二次和三次贝塞尔曲线比较常用,也是比较受欢迎的两种。因为他们在计算简单性和能够表示无限范围的曲线之间取得了平衡。

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曲线方程

贝塞尔曲线方程可以表示为:

其中,$B(t)$ 是贝塞尔曲线在参数 t 上的点。

$n$是贝塞尔曲线的次数

$P_i$是控制点。

更具体的,对于一阶贝塞尔曲线,公式如下:

$B(t)=(1-t)P_0+t{P}_1\text{，其中 }t\in [0,1]$

其中的$P_0$,$P_1$是两个控制点,曲线从$P_0$出发,经过$P_1$,且为一条直线。

二次贝塞尔曲线有三个控制点，通常用于平滑的路径绘制。该曲线依赖于一个控制点来弯曲直线,这种操作相比很多人都不陌生,我们在很多绘图软件中需要用到曲线或者带箭头的曲线时,都会通过鼠标拖动头尾之外的中间点来实现想要的弯曲效果。

$B(t)=(1-t{)}^2{P}_0+2(1-t)t{P}_1+t^2{P}_2\text{，其中 }t\in [0,$