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一.AVL的概念
AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的 左右子树都是AV树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗高度平衡搜索二叉树， 通过控制高度差去控制平衡。
AVL树实现这里引入⼀个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡， 就像⼀个风向标⼀样。
思考一下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法作为高度差是0
AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN) ，相比二叉搜索树有了本质的提升。
二.AVL的实现
2.1AVL树的结构
树的每一个节点包含一个pair，左右子树的指针，父亲节点的指针，还有一个AVL树特有的平衡因子。
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; // balance factor 平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
: _kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
//...
private:
Node* _root = nullptr;
};2.2AVL树的插入
2.2.1AVL树插入一个值的大概过程
1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。
2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了。
3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束
4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。
2.2.2平衡因子更新
更新原则：
• 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度
• 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
• 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因子--
• parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。
更新停止条件：
• 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent子树一边高⼀边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会 影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
• 更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1或者0->-1，说 明更新前parent子树两边⼀样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高⼀边低，parent所 在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。
• 更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2或者-1->-2，说 明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高 了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把 parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。
更新到10结点，平衡因子为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理。
更新到中间结点，3为根的子树高度不变，不会影响上⼀层，更新结束。
最坏更新到根
2.2.3插入节点及更新平衡因子的实现
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//while循环找到需要插入节点的位置
while (cur)
{
//插入的值大于节点的值，往树的右边走
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
//小于的话往左走
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
//相同的值不能再插入
else
{
return false;
}
}
//运行到这里就说明cur一定走到了nullptr
//此时的parent节点存储的是叶子结点
cur = new Node(kv);
//大于插入到右边小于插入到左边
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//还需要更新平衡因子
while (parent)
{
//平衡因子=右子树高度-左子树的高度
if (cur == parent->_left)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
//注意看上面写的更新停止条件，等于0了就说明左右子树高度相等
if (parent->_bf == 0)
break;
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
//这里需要旋转处理，后面说
break;
}
else
{
//如果不是上面的几种情况，到这里就说明插入之前的树就有错误
assert(false);
}
}
return true;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};这里面还有一点关于旋转的功能没有实现。
下面介绍旋转的概念及如何实现
2.3旋转
2.3.1旋转的原则
1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。
2.3.2右单旋
• 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。
• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新 的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原 则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。
这张图是抽象的展示所有的右单旋的情况。
具体一点：
情况一： a,b,c三棵子树高度为0
情况二：a,b,c高度为1
情况三：a,b,c高度为2
注意b和c都有三种情况，插入的时候插入到a上可以有4种情况。
情况四，abc高度都为3
其实还有情况五，情况六等等，但是计算下去就没有什么意义了，介绍了前面的四种情况，我们就可以了解这个右单旋是什么情况了。接下来就是代码实现
2.3.3右单旋的代码实现
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;//左子树
Node* subLR = subL->_right;//左子树的右子树
//注意修改父亲指针指向它左子树的右子树
parent->_left = subLR;
//判断一下如果左子树的右子树不为空的话，修改它的父亲指向
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
//后面要修改父亲的指向，所以这里存一下
Node* parentParent = parent->_parent;
//把父亲节点放到左子树的右，同时改变父亲的父亲指针的指向
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
// parent有可能是整棵树的根，也可能是局部的子树
// 如果是整棵树的根，要修改_root
// 如果是局部的指针要跟上一层链接
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
//可能是左子树往上更改的
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subL;
}
//也可能是右子树
else
{
parentParent->_right = subL;
}
subL->_parent = parentParent;
}
//完成上面的旋转后，根据我们上面画的图，平衡因子一定是0
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}2.3.4左单旋
• 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这⾥a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上面右旋类 似。
• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。
• 旋转核心步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵 树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转 原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。
2.3.5左单旋的代码实现
左单旋的实现实际就是右单旋逻辑的反向。
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;//右子树
Node* subRL = parent->_right->_left;//右子树的左子树
//1、先改parent与subRL的关系
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
//记录父亲的父亲
Node* parentParent = parent->_parent;
//2、再修改subR与parent的关系
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//3、最后修改父亲的父亲和subR的关系，注意判断parent可能为根
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subR;
else
parentParent->_right = subR;
subR->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}2.3.6左右双旋
如图，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为根的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。
上面两张图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL 子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为 我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置 不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。
• 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子， 引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。
• 场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引 发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。
• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋 转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。
这里对于情景一，上面是直接一次把左单旋和右单旋一次画出来了，这里我细化了一下：
2.3.7左右双旋代码实现
左右单旋实际上就是左单旋和右单旋的组合，这里直接复用就行。
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = parent->_left->_right;
//记录插入后subLR的平衡因子，因为三种场景是固定的值，需要根据这里的平衡因子改变其他的平衡因子
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);//左单旋
RotateR(parent);//右单旋
if (bf == 0)//对应场景三
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if(bf == -1)//对应场景一
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//对应场景二
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}2.3.8右左双旋
• 场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。
• 场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子， 引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。
• 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋 转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。
对于场景一我也是单独拿出来拆开画了一下：
2.3.9右左双旋的代码实现
同左右双旋：
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = parent->_right->_left;
//记录插入后subRL的平衡因子，因为三种场景是固定的值，需要根据这里的平衡因子改变其他的平衡因子
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);//右单旋
RotateL(parent);//左单旋
if (bf == 0)//对应场景三
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)//对应场景一
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//对应场景二
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}2.4AVL树的查找
拿二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)
Node* find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}2.5AVL树平衡检测
int _height(Node* node)
{
if (node == nullptr)
{
return 0;
}
int LeftHeight = _height(node->_left);
int RightHeight = _height(node->_right);
return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;
}
bool IsBlanceTree(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int LeftHeight = _height(root->_left);
int RightHeight = _height(root->_right);
int diff = RightHeight - LeftHeight;
if (abs(diff) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
return false;
}
if (root->_bf != diff)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
// root的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}2.6补全insert
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//while循环找到需要插入节点的位置
while (cur)
{
//插入的值大于节点的值，往树的右边走
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
//小于的话往左走
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
//相同的值不能再插入
else
{
return false;
}
}
//运行到这里就说明cur一定走到了nullptr
//此时的parent节点存储的是叶子结点
cur = new Node(kv);
//大于插入到右边小于插入到左边
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//还需要更新平衡因子
while (parent)
{
//平衡因子=右子树高度-左子树的高度
if (cur == parent->_left)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
//注意看上面写的更新停止条件，等于0了就说明左右子树高度相等
if (parent->_bf == 0)
break;
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
//这里需要旋转处理，后面说
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
//如果不是上面的几种情况，到这里就说明插入之前的树就有错误
assert(false);
}
}
return true;
}
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