二叉搜索树详讲-优快云博客

二叉树能提高查询的效率 O(logn)，但是当你插入 {1,2,3,4,5,6} 这种数据的时候，你的二叉树就像一个「链表」一样，搜索效率变为 O(n)

于是提出了「平衡二叉树」（AVL）。

于是插入{1,2,3,4,5,6} 这种数据结果如下图所示：

有人思考了说->:这不就是二叉搜索树吗?

没错，这确实是二叉搜索树，但是它是在二叉排序树的基础上进化的

因此，我们引出判断AVL树的规则

判断「平衡二叉树」

判断「平衡二叉树」的 2 个条件：

1. 是「二叉排序树」
2. 任何一个节点的左子树或者右子树都是「平衡二叉树」（左右高度差小于等于 1）

（1）下图不是「平衡二叉树」因为它不是「二叉排序树」违反第 1 条件

（2）下图不是「平衡二叉树」因为有节点子树高度差大于 1 违法第 2 条件

（3）下图是「平衡二叉树」因为符合 1、2 条件

🌟3.平衡因子

3.1 平衡因子 BF

定义：左子树和右子树高度差

计算：左子树高度 - 右子树高度的值

别名：简称 BF（Balance Factor 而不是 Boy Friend）

一般来说 BF 的绝对值大于 1，,平衡树二叉树就失衡，需要「旋转」纠正

(旋转后面讲)

3.2 最小不平衡子树

距离插入节点最近的，并且 BF 的绝对值大于 1 的节点为根节点的子树。

「旋转」纠正只需要纠正「最小不平衡子树」即可

例子如下图所示：（这里看不懂也没关系，看后面的）

🌟4. 二种旋转方式

2 种「旋转」方式：

左旋
让旧根节点为新根节点的左子树
让新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

右旋：
让旧根节点为新根节点的右子树
让新根节点的右子树（如果存在）为旧根节点的左子树

4 种「旋转」纠正类型：

LL 型：插入左孩子的左子树，右旋
RR 型：插入右孩子的右子树，左旋
LR 型：插入左孩子的右子树，先左旋，再右旋

RL 型：插入右孩子的左子树，先右旋，再左旋

4.1 LL 型失衡「右旋」

第三个节点「1」插入的时候，BF(3) = 2，BF(2) = 1 LL 型失衡，右旋，根节点顺时针旋转

（1）最小不平衡子树「右旋」

右旋的做法->:

旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 2）的右子树
新根节点的右子树（如果存在）为旧根节点的左子树

4.2 RR 型失衡「左旋」

第三个节点「3」插入的时候，BF(1)=-2 BF(2)=-1，RR 型失衡，左旋，根节点逆时针旋转

（1）最小不平衡子树【左旋】

左旋的做法->:

旧根节点（节点 1）为新根节点（节点 2）的左子树
新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

4.3 LR 型

第三个节点「3」插入的时候，BF(3)=2 BF(1)=-1 LR 型失衡，先「左旋」再「右旋」

（1）最小不平衡子树左子树 {2,1} 先左旋

左旋的做法->:

旧根节点（节点 1）为新根节点（节点 2）的左子树
新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

（2）最小不平衡子树 {3,2,1} 再右旋

右旋的做法->:

旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 2）的右子树
新根节点的 右子树（如果存在）为旧根节点的左子树

4.4 RL 型

第三个节点「1」插入的时候，BF(1)=-2 BF(3)=1 RL 型失衡，先「右旋」再「左旋」

（1）最小不平衡子树根节点右子树{3,2}先右旋

右旋的做法->:

旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 2）的右子树
新根节点的 右子树（如果存在）为旧根节点的左子树

（2）最小不平衡子树 {1,2,3} 再左旋（L）

左旋的做法->:

旧根节点（节点 1）为新根节点（节点 2）的左子树
新根节点的左子树（如果存在）为旧根节点的右子树

🌟5.实例

接下来我们以 {3,2,1,4,5,6,7,10,9,8} 为实例练习刚刚的 4 种插入方式

（1）依次插入 3、2、1 插入第三个点 1 的时候 BF(3)=2 BF(2)=1，LL 型失衡。

对最小不平衡树 {3,2,1}进行「右旋」

右旋：

旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 2）的右子树
新根节点（节点 2）的右子树（这里没有右子树）为旧根节点的左子树

（2）依次插入 4 ，5 插入 5 点的时候 BF(3) = -2 BF(4)=-1，RR 型失衡

对最小不平衡树 {3,4,5} 进行「左旋」

左旋：

旧根节点（节点 3）为新根节点（节点 4）的左子树
新根节点（节点 4）的左子树（这里没有左子树）为旧根节点的右子树

（3）插入 4 ，5 插入 5 点的时候 BF(2)=-2 BF(4)=-1 ，RR 型失衡 对最小不平衡树进行「左旋」

左旋：

旧根节点（节点 2）为新根节点（节点 4）的左子树
新根节点（节点 4）的 左子树（节点 3）为旧根节点的右子树

新根节点（节点 4）的左子树（节点 3）为旧根节点的右子树

（4）插入 7 节点的时候 BF(5)=-2, BF(6)=-1 ，RR 型失衡，对最小不平衡树进行「左旋」

左旋：

旧根节点（节点 5）为新根节点（节点 6）的左子树
新根节点的左子树（这里没有）为旧根节点的右子树

（5）依次插入 10 ，9 。插入 9 点的时候 BF(10) = 1，BF(7) = -2 ，RL 型失衡，对先「右旋」再「左旋」

右子树先「右旋」

最小不平衡子树的右子树 {10,9} 先右旋：

旧根节点（节点 10）为新根节点（节点 9）的右子树
新根节点（节点 9）的右子树（这里没有右子树）为旧根节点的左子树

最小不平衡子树再左旋：

旧根节点（节点 7）为新根节点（节点 9）的左子树
新根节点（节点 9）的左子树（这里没有左子树）为旧根节点的右子树

（6）最后插入节点 8 ，BF(6)=-2 BF(9)=1，RL 型失衡，先「右旋」再「左旋」

最小不平衡子树的右子树 {9,7,10,8} 先「右旋」

右旋：

旧根节点（节点 9 {9,10}）为新根节点（节点 7）的右子树
新根节点（节点 7）的右子树（这里是 节点 8）为旧根节点（节点 9）的左子树

最小不平衡子树 {6,5,7,9,8,10} 再「左旋」

左旋：

旧根节点（节点 6 {6,5} ）为新根节点（节点 7）的左子树
新根节点的左子树（这里没有）为旧根节点的右子树

左旋结束

程序结束