蓝桥试题：摆花 389

KuunNNn

于 2025-03-06 23:51:58 发布

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分类专栏：蓝桥杯Java B组文章标签：算法数据结构蓝桥杯

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一、题目描述

小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共 m 盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的 n 种花，从 1 到 n 标号。为了在门口展出更多种花，规定第 i 种花不能超过 ai 盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。

试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

输入描述

第一行包含两个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 a1、a2、......an。

其中，0<n≤100，0<m≤100，0≤ai≤100。

输出描述

输出只有一行，一个整数，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案1e6+7取模的结果。

输入输出样例

示例

输入

2 4
3 2

输出

二、代码展示

import java.util.Scanner;

public class Main {
public static void main(String[] args) {
    Scanner scan=new Scanner(System.in);
    int n=scan.nextInt();
    int m=scan.nextInt();
    int[][] dp=new int[n+1][m+1];//n为花的种类，m为总共盆数
    int[] a=new int[n+1];//用来表示每种花摆多少盆
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        a[i]=scan.nextInt();
    }
    for(int i=0;i<=n;i++) {//表示第i种花摆0盆为1种方案
        dp[i][0]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {//遍历花的种类
        for(int j=1;j<=m;j++) {//遍历花的总盆数
            for(int k=0;k<=j&&k<=a[i];k++) {
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-k];//表示第i种花摆j盆的方案数
                dp[i][j]%=(int)1e6+7;
            }
        }
    }
    System.out.println(dp[n][m]);
}
}

逐行解释

1. 外层循环：遍历花的种类
for (int i = 1; i <= n; i++) {
作用：遍历每一种花，从第 1 种到第 n 种。

意义：动态规划的阶段，逐步考虑前 i 种花的摆放方案。

2. 中层循环：遍历花的总盆数
for (int j = 1; j <= m; j++) {
作用：遍历需要摆放的花的总盆数，从 1 盆到 m 盆。

意义：动态规划的状态，计算前 i 种花摆 j 盆的方案数。

3. 内层循环：遍历第 i 种花摆 k 盆
for (int k = 0; k <= j && k <= a[i]; k++) {
作用：遍历第 i 种花可以摆放的盆数 k，k 的取值范围是：

0 到 j（不能超过总盆数 j）。

0 到 a[i]（不能超过第 i 种花的最大盆数）。

意义：枚举第 i 种花摆放的盆数 k，并累加前 i-1 种花摆 j-k 盆的方案数。

4. 状态转移
dp[i][j] += dp[i - 1][j - k];
作用：更新 dp[i][j]，表示前 i 种花摆 j 盆的方案数。

意义：

dp[i][j] 是前 i 种花摆 j 盆的方案数。

dp[i - 1][j - k] 是前 i-1 种花摆 j - k 盆的方案数。

通过累加所有可能的 k，得到前 i 种花摆 j 盆的总方案数。

5. 取模防止溢出
dp[i][j] %= (int) 1e6 + 7;
作用：对 dp[i][j] 取模，防止数值过大导致溢出。

意义：

1e6 + 7 是题目要求的模数（即 1000007）。

每次更新 dp[i][j] 后，取模确保结果在合理范围内。

动态规划的状态转移方程

设 dp[i][j] 表示前 i 种花摆 j 盆的方案数。

状态转移方程：
𝑑𝑝[𝑖][𝑗]=∑𝑘=0min⁡(𝑗,𝑎[𝑖])𝑑𝑝[𝑖−1][𝑗−𝑘]dp[i][j]=k=0∑min(j,a[i])dp[i−1][j−k]

其中，k 表示第 i 种花摆 k 盆。

dp[i-1][j-k] 表示前 i-1 种花摆 j-k 盆的方案数。

示例说明

假设：

n = 2（2 种花）。

m = 4（总共摆 4 盆花）。

a[1] = 3（第 1 种花最多摆 3 盆）。

a[2] = 2（第 2 种花最多摆 2 盆）。

DP 表填充过程：

初始化：

dp[0][0] = 1。

其他 dp[i][0] = 1。

填充 i = 1（第 1 种花）：

j = 1：

k = 0：dp[1][1] += dp[0][1] = 0。

k = 1：dp[1][1] += dp[0][0] = 1。

结果：dp[1][1] = 1。

j = 2：

k = 0：dp[1][2] += dp[0][2] = 0。

k = 1：dp[1][2] += dp[0][1] = 0。

k = 2：dp[1][2] += dp[0][0] = 1。

结果：dp[1][2] = 1。

类似地，dp[1][3] = 1，dp[1][4] = 0。

填充 i = 2（第 2 种花）：

j = 1：

k = 0：dp[2][1] += dp[1][1] = 1。

k = 1：dp[2][1] += dp[1][0] = 1。

结果：dp[2][1] = 2。

j = 2：

k = 0：dp[2][2] += dp[1][2] = 1。

k = 1：dp[2][2] += dp[1][1] = 1。

k = 2：dp[2][2] += dp[1][0] = 1。

结果：dp[2][2] = 3。

类似地，dp[2][3] = 3，dp[2][4] = 2。

最终结果：

dp[2][4] = 2，即共有 2 种摆花方案。