二分排序

二分问题之前遇到很多次了，不过一直是手写完整二分，现在转变一下想法，直接使用函数lower_bound和upper_bound更方便，但是这两个内置函数只适用于有序排序，非有序还是老老实实的手写二分吧。。。。。。

lower_bound

 有序数组中 查找第一个不小于指定值的位置。

本质二分代码：

int lower_bound_custom(int* arr, int n, int val) {
    int low = 0, high = n; // 查找范围 [low, high)
    while (low < high) {
        int mid = low + (high - low) / 2;
        if (arr[mid] < val) {
            low = mid + 1; // 继续查找右区间
        } else {
            high = mid; // 继续查找左区间
        }
    }
    return low; // 返回第一个不小于 val 的位置
}

upper_bound 

 有序数组中 查找第一个大于指定值的位置

本质二分代码：

int upper_bound_custom(int* arr, int n, int val) {
    int low = 0, high = n; // 查找范围 [low, high)
    while (low < high) {
        int mid = low + (high - low) / 2;
        if (arr[mid] <= val) {
            low = mid + 1; // 继续查找右区间
        } else {
            high = mid; // 继续查找左区间
        }
    }
    return low; // 返回第一个大于 val 的位置
}

注意 lower_bound和upper_bound 是指针用法，最后返回的是位置索引

真题实战

题目链接：1.递增三元组 - 蓝桥云课

利用 lower_bound和upper_bound 减少时间复杂度

代码一：

纯暴力思想，发现有2个测试样例无法通过，时间超时，此时时间复杂度为O(n^3)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[100010],b[100010],c[100010];
long long sum=0;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>b[i];
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>c[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            for(int k=1; k<=n; k++)
            {
                if(a[i]<b[j] && b[j]<c[k])
                {
                    sum++;    
                }
            }
        }
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}

代码二：

优化遍历，发现只需要两重for循环，找到每个b[i]位置符合的a[]个数和c[]个数，累成再累加，但是还是有一个样例无法通过,此时时间复杂度为O(n^2)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[100010],b[100010],c[100010];
long long sum=0;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>b[i];
    for(int i=1; i<=n; i++) cin>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int sum_a=0,sum_c=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(a[j]<b[i])
            {
                sum_a++;
            }
            if(b[i]<c[j])
            {
                sum_c++;
            }
        }
        sum+=1LL*sum_a*sum_c;
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}

代码三：

最后想到通过二分排序，减少时间复杂度，通过所有测试样例，此时时间复杂度为O(n^logn)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[100010],b[100010],c[100010];
long long sum=0;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
	for(int i=1; i<=n; i++) cin>>b[i];
	for(int i=1; i<=n; i++) cin>>c[i];
	sort(a+1,a+n+1);
	sort(b+1,b+n+1);
	sort(c+1,c+n+1);
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		int sum_a=lower_bound(a+1,a+n+1,b[j])-(a+1); //满足 a[i] < b[j]
		int sum_c=(c+n+1)-upper_bound(c+1,c+n+1,b[j]); //满足 b[j] < c[k]
		sum+=1LL*sum_a*sum_c; //可能超int型范围 
	}
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}