数据结构(图)-优快云博客

（2）表示：顶点 $v_{i}$ 与 $v_{j}$ 之间的边无方向性，用无序偶对 $(v_{i},v_{j})$ 表示；若有方向性则用有序偶对 $<v_{i},v_{j}>$ ( $v_{i}$ 邻接到 $v_{j}$ ， $v_{j}$ 邻接于 $v_{i}$ )表示。其中 $v_{i}$ 称为弧头， $v_{j}$ 称为弧尾。

（3）表示中的前者为无向图，后者为有向图。

图示如下：无向图

有向图：

2.图的基本术语

（1）邻接点：无向图中称两个互连的顶点互为邻接点，有向图中 $<v_{i},v_{j}>$ 表示一条弧，则 $v_{i}$ 邻接 $v_{j}$ 或 $v_{j}$ 邻接自 $v_{i}$ 。

（2）顶点的度，入度与出度：无向图中某顶点的度指的是与它相连的边的数量记作 $TD(V)$ 。有向图中顶点的度指的是其出度与入度之和，顶点 $v_{i}$ 的入度指的是以 $v_{i}$ 为弧头记作 $ID(V)$ ，反之，出度指的是以顶点 $v_{i}$ 为弧尾记作 $OD(V)$ ,顶点 $v_{i}$ 的度为 $TD(V)=ID(V)+OD(V)$ .

注：若图有n个顶点，e条边，则 $e=\frac{1}{2}\sum TD(v_{i})$

（3）完全图：无向图中任意两个顶点之间均存在一条边，称为无向完全图。有向图中，任意两个顶点均存在方向相反的两条弧，称为有向完全图。

a.含有n个顶点的无向完全图有 $n(n-1)/2$ 条边，图示如下：

b. 含有n个顶点的有向完全图有 $n(n-1)$ 条边，图示如下：

（4）路径和路径长度：从某顶点 $v_{i}$ 出发到某顶点 $v_{j}$ 所经历的一系列顶点的顶点序列为这两个顶点的路径(连续的边构成的顶点序列)；路径长度指的是该路径上经过的边或弧的数量(路径上边或弧的数目/权值之和)。

（5）简单路径和回路：

简单路径：路径中不存在重复的顶点

非简单路径：类比简单路径和回路的结合

回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

（6）权和网：代表某种意义的数值称为权，带权的图称为网。

（7）子图：对于图 $G=(V,E)$ 和图若满足 ${V}'\subseteq {V},{E}'\subseteq E$ ,则 ${G}'$ 是 $G$ 的子图。

（8）连通图和连通分量（针对无向图）：无向图中 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 之间存在路径则称二者互相连通。若任意一对顶点的是连通的，称该图为连通图，非连通图的极大连通子图称为连通分量。

（9）强连通图和强连通分量（针对有向图）：有向图中若 $v_{i}$ 与 $v_{j}$ 之间，即可以从 $v_{i}$ 到 $v_{j}$ 也可以从 $v_{j}$ 到 $v_{i}$ ，则称该图是强连通图，非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量。

（10）生成树和生成森林：

a.一个连通图G的生成树是具有G中全部顶点的一个极小连通子图。一棵树含有n个顶点的生成树，必然含有n-1条边。

注：极小连通子图：某图是某图的连通子图，在该子图中删除一条边，子图不再连通。

b.非连通图的每个连通分量分别可以得到一棵生成树，各个连通分量的生成树则组合构成了一个生成森林。

c.在有向图中，若有一个顶点的度为0，其余顶点的度均为1，则该有向图可以构成一棵有向树。一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有构成若干棵弧不相交的有向树的弧。

7.1.2 图的存储结构

1.定义

图所对应的关系是多对多的关系，其没有顺序存储结构，可以使用数组(邻接矩阵)或二维数组(邻接表)存储图中结点和弧的信息。

2.邻接矩阵存储

（1）定义

邻接矩阵是一种顺序存储方式，即：分别引入两个数组，一个用于存储图的顶点的信息称为顶点表；另一个用于存储顶点间的关系，称为邻接矩阵。

（2）矩阵元素定义

1）设图 $A=(V,E)$ 有n(n>0)个顶点，则顶点表 $Vexs[n]$ ，邻接矩阵 $A.arcs[n][n]$ .

2）设图 $G=(V,E)$ 有n(n>0)个顶点，则图G所对应的邻接矩阵arcs是一个n阶方阵，矩阵中的元素定义如下：

$arcs[i][j]=\begin{cases} & \text{ 1 } ,(v_{i},v_{j})||<v_{i},v_{j}>\\ & \text{ 0 } ,other \end{cases}$

3）对于带权图，邻接矩阵的元素定义为相应顶点之间的边的权值，即

$arcs[i][j]=\begin{cases} & \text{ } w_{ij},(v_{i},v_{j})||<v_{i},v_{j}> \\ & \text{ 0 } ,i=j \\ & \text{ }\infty ,other \end{cases}$

注：∞可以用一个较大的数值代替。

（3）图及邻接矩阵的存储结构

注： 1.对于无向图顶点 $i$ 的度=第 $i$ 行(列)中的1的个数。除此之外无向完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余为1.

2.有向图中顶点度=入度+出度。顶点的出度=第 $i$ 行元素之和；顶点的入度=第i列元素之和。

注：第i行含义：以结点 $v_{i}$ 为尾的弧(出度边) 第i列含义：以结点 $v_{i}$ 为头的弧(入度边)

定义：

typedef struct Mgraph{

VertexType vexs[Max];

int arcs[Maxnum][Maxnum];

int vexnum,arcnum;

}

（4）特征

优点：容易看出两个顶点之间知否相连以及容易得到各顶点的度。

缺点：邻接矩阵占用的存储单元个数只与图中的顶点个数有关，与边的数目无关。因此对于稀疏的图会造成空间浪费。

3.邻接表存储

（1）定义

是由顺序存储和链式存储相结合的存储方式，类似于树的孩子链表表示法。对于图中的每个顶点v，将所有与其邻接的自顶点连接成一条单链表，称为边表。将所有边表的头结点组成一个一维数组，称为顶点表。

（2）图及邻接表存储结构

注：1.无向图的特点：

1）邻接表不唯一

2）若无向图中有n个顶点和e条边则其邻接表需要n个头结点和2e个表结点。

3）无向图中顶点 $v_{i}$ 的度为第 $i$ 个单链表中的结点数

4）时间复杂度：O(n+2e)

2.有向图特点：

1）顶点 $v_{i}$ 的出度为第 $i$ 个单链表中的结点个数

2）入度为整个单链表中邻接点域值是i-1的结点个数。

3）空间复杂度：O(n+e)

定义：

typedef char VertexType;

typedef struct EdgeNode{

int adjvex;

EdgeNode * next;

}*EdgeList;

typedef struct {

VertexType data;

EdgeList firstedge;

}VexNode;

typedef struct{

VexNode adjlist[MAX];

int vexnum,arcnum;

}ALGraph;

（3）逆邻接表(求入易，求出难与邻接表相反)

解决邻接矩阵求入度难的问题

（4）邻接多重链表（多指针）

...........

（5）优点

节省空间

7.1.3 图的遍历

1.图遍历的概念

（1）含义

图的遍历是指从图中某一顶点出发，沿着某条路径对图中所有的顶点访问且仅访问一次。

注：图遍历算法需要解决的问题：

1）是否存在回路。

2）对于非连通图，从图的某个顶点出发，不能访问到所有顶点。

3）图中相邻顶点不唯一，选谁？

解决1）设置标记数组，访问过的往数组里面填入特定值表示已经访问过了。解决问题2）任意选择一个没有被访问过的某一顶点出发，直到访问完全部结点。解决问题3）根据不同的邻接点遍历次序可以分为：深度优先遍历和广度优先遍历。

2.深度优先遍历（DFS）

（1）思路：

1）图的深度优先遍历类似于树的先序遍历

2）思路：从任意顶点(未被访问过)出发访问该顶点，依次从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直到所有与v相连的顶点都被访问到。若此时图中还有顶点没有被访问到，则选择一个为被访问的顶点作为新起点，重复以上步骤。

3）举例图示：

如该图所示序号，对应得到的生成树为右边图示。

（2）连通图的深度优先算法递归算法

bool visited[MAX]={false}
void DFS(MGraph G, int v) {
   cout << G.vexs[v];
   visited[v] = true;
   for (int i = 0; i < G, vexnum; i++) {
       if (G.arcs[v][i] != 0 && !visited[i]) {
           DFS(G, i);
       }
   }
}

注：1）对于无向图，若此图是非连通图，DFS只能访问从初始点v所在的连通分量的所有顶点，而访问不到其他连通分量中的顶点，因此只需要从各个连通分量中选择一个出发点，多次调用DFS算法进行深度优先遍历。

2）对于有向图，若从初始点出发可以到达图中其余各顶点都存在路径，则直接执行DFS算法可以直接访问完全部顶点，否则从未被访问的顶点中选择新的顶点作为出发点，再次调用DFS算法继续进行深度优先遍历算法，直到全部访问完。

有向图的遍历算法：

void DFSTraverse(MGraph G) {
   for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
       if (!visited[i])
           DFS(G, i);
   }
}

3.广度优先遍历

（1）定义

图的广度优先遍历类似于树的层次遍历。

步骤：a.从某顶点出发，访问该顶点。然后在依次访问它们各自未被访问过的邻接点 $w_{i},w_{2}.......w_{t}$ 。分别从 $w_{i},w_{2}.......w_{t}$ 出发，依次访问它们各自未被访问过的邻接点直到图中所有与初始出发点v有路径相连的顶点都被访问过为止。

举例图示：

注：a.广度优先遍历是一种分层的遍历过程，每向前走一步可能访问一批结点，不存在回退的情况，其过程也不是一个递归过程，算法也不是递归的。

b.为了确保“”在上一层先被访问的顶点的邻接点”先于“在上一层后被访问的顶点的邻接点”被访问，采用队列来存储被访问过的顶点(队列先进先出)，以实现按层访问。另外设置标记数组visited[]给已访问过的顶点加标记

（2）算法演示

void BFSTraverse(MGraph G, int v) {
   bool* visited = new bool[G.vexnum];
   SeqQueue q;
   int c;
   InitQueue(q);
   for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
       visited[i] = false;
   }
   for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) {
       if (!visited[i]) {
           cout << G.vexs[i] << " ";
           visited[i] = true;
           EnQueue(q, i);
           while (!QueueEmpty(q)) {
               c = DeQueue(q);
               for (int j = 0; j < G.vexnum; j++) {
                   if (G.arcs[c][j] == 1 && !visited[j]) {
                       cout << G.vexs[j] << " ";
                       visited[j] = true;
                       EnQueue(q, j);
                   }
               }
           }
       }
   }
   delete[] visited;
}