19、多维场景的压缩渲染

多维场景的压缩渲染

1. 算法相关理论基础

1.1 ROMP 算法

ROMP 算法在解决 $\ell_1$ 问题时，虽然理论上解决该问题需要 $N = O(m \log k)$ 个样本，但实践中发现 ROMP 算法大约需要 $N = 5m$ 个样本开始锁定正确解，$N = 10m$ 个样本时能非常稳健地工作。

1.2 SpaRSA 算法概述

压缩感知理论的一个关键成果是可将问题转化为 $\ell_1$ 问题：
$$
\begin{align }
\min |\hat{f}|_1\
\text{s.t. } y = A\hat{f}
\end{align }
$$
当矩阵 $A$ 满足受限等距条件（RIC）且样本数量 $N = O(m \log k)$（$m$ 为信号稀疏度）时，此方程与原问题有相同解。但 $\ell_1$ 问题仍较难解决，因此研究人员将其转化为 $\ell_2 – \ell_1$ 问题：
$$
\min_{\hat{f}} \frac{1}{2}|y - A\hat{f}|_2^2 + \tau|\hat{f}|_1
$$
其中第一项确保解与测量值 $y$ 拟合，第二项寻找最小 $\ell_1$ 解（即最稀疏解），参数 $\tau$ 平衡优化倾向。Wright 等人提出了通过迭代子问题求解该问题的 SpaRSA 算法，用于重建 3D 及更高维的场景信号 $f$。

1.3 受限等距条件（RIC）

若 $k \ll n$，对于任意矩阵 $A$，方程 $y = A\ha