32、均匀分层彩虹签名方案的安全分析

均匀分层彩虹签名方案的安全分析

1. 四元数代数与HS方案基础

1.1 四元数代数定义

对于非零元素 (a \in L^{\times})，非交换环 (Q_L(a)) 定义如下：
- 集合 ：(Q_L(a) = L \cdot 1 \oplus L \cdot i \oplus L \cdot j \oplus L \cdot ij)
- 乘法规则 ：(i^2 = a)，(j^2 = -1)，(ij = -ji)

(Q_L(a)) 是 (L) 上秩为 4 的自由模，被称为四元数代数。当 (L = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}) 且 (a = -1) 时，它与 Sato - Araki 方案中使用的四元数代数一致；若 (L = GF(q))，也可记为 (Q_q(a) = Q_K(a))。同时，(Q_L(a)) 可嵌入到矩阵环中：
(\iota : Q_L(a) \ni c_1 + c_2i + c_3j + c_4ij \to \begin{pmatrix} c_1 + c_2i & c_3 + c_4i \ -c_3 + c_4i & c_1 - c_2i \end{pmatrix} \in M(2, L[i]))

1.2 HS方案概述

设 (R) 是 (L) 上秩为 (r) 的非交换环，固定同构 (\varphi : L^r \to R)。假设 (R) 是矩阵环 (M(s, L)) 的子环且对转置运算封闭。

HS 方案以非交换多元多项式作为中心映射：
(\tilde