25、交替码的简化高速长距离列表译码算法

交替码的简化高速长距离列表译码算法

1. 引言

在编码理论中，交替码是一类重要的线性码，它在纠错码和密码学等领域有着广泛的应用。交替码的定义如下：

取任意素数幂 $q$，整数 $m \geq 1$，整数 $n \geq m$ 且 $n \leq q^m$，整数 $t \geq 1$ 且 $t \leq n/m$，不同的 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F_{q^m}$，以及非零的 $\beta_1, \ldots, \beta_n \in F_{q^m}$。定义集合 $C$ 为：
[
C = {(\beta_1f(\alpha_1), \ldots, \beta_nf(\alpha_n)) : f \in F_{q^m}[x], \text{deg} f < n - t, \beta_if(\alpha_i) \in F_q \text{ 对于每个 } i}
]
集合 $C$ 是一个在 $F_q$ 上的 $[n, \geq n - mt, \geq t + 1]$ 线性码。也就是说，它是 $F_q$-向量空间 $F_q^n$ 的一个子空间，维数至少为 $n - mt$，即至少有 $q^{n - mt}$ 个元素，并且任意两个不同元素的汉明距离至少为 $t + 1$。

交替码包括二元里德 - 所罗门码、BCH 码、各种奇特征推广码以及经典的戈帕码等。对于交替码的 $w$ 错误纠正问题，即给定一个与 $c \in C$ 距离为 $w$ 的向量，找到 $c$。当 $w \leq \lfloor t/2 \rfloor$ 时，早期研究提出了一些算法：
- Peterson 算法：使用 $n^{O(1)}$ 次