14、对所有具体KKS方案的高效攻击

对所有具体KKS方案的高效攻击

1. 术语和符号

在相关研究中，$q$ 表示某个素数幂，$F_q$ 表示具有 $q$ 个元素的有限域。设 $n$ 为非负整数，集合 ${i:1\leq i\leq n}$ 记为 $[1···n]$，集合 $A$ 的基数记为 $|A|$。向量 $x = (x_1,···,x_n)$ 和 $y = (y_1,···,y_m)$ 的连接记为 $(x||y)=(x_1,···,x_n,y_1,···,y_m)$。对于 $x\in F_q^n$，其支撑集 $\text{supp}(x)$ 是使得 $x_i\neq0$ 的 $i$ 的集合，汉明重量 $|x|$ 是 $\text{supp}(x)$ 的基数。对于向量 $x = (x_i)$ 和其索引的子集 $I$，$x_I=(x_i) {i\in I}$ 表示 $x$ 在 $I$ 上的限制。对于矩阵，同样使用此符号，例如对于 $k\times n$ 矩阵 $H$，$H_J=(h {ij})_{1\leq i\leq k,j\in J}$ 表示由索引集 $J$ 中的列组成的子矩阵。

线性码 $C$ 是 $F_q^n$ 的一个 $k$ 维线性子空间，类型为 $[n,k,d]$，其中最小距离 $d=\min{|x|:x\in C,x\neq0}$，$C$ 中的元素称为码字。线性码可以由奇偶校验矩阵或生成矩阵定义。奇偶校验矩阵 $H$ 是一个 $(n - k)\times n$ 矩阵，使得 $C = {c\in F_q^n:Hc^T = 0}$，其中 $x^T$ 表示 $x$ 的转置。生成矩阵 $G$ 是一个 $k\times n$ 矩阵，由 $C$ 的一组基构成。若存在集合 $J$ 使得 $G_J = I_k$，则