OpenGL学习脚印: 坐标和变换的数学基础(math-coordinates and transformations)

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写在前面
上一节介绍了向量和矩阵，本节将熟悉坐标、线性变换、仿射变换以及坐标转换等概念和计算方法，这些内容对后续的学习将会有很大帮助。部分内容不是OpenGL编程初学者所必须掌握的，可以在以后需要时再回头来看。

这里是对这些知识点的一个总结，旨在对他们有个整体把握，后面具体应用时会使用这些概念。内容尽量以例子形式说明，仅在必要时会给出数学证明。一个主题往往涉及过多内容，对于文中省略的部分，请参考相应的教材。

通过本节可以了解到

坐标的概念
线性变换的概念和计算方法
仿射变换
坐标转换的概念和计算方法

坐标系及坐标

坐标是在特定坐标系下表示物体位置的方法，一谈到坐标，必定是在某个坐标系下给定的。例如经纬度坐标是相对于地球的球面坐标系统给出的。

坐标系则给出了一个参考框架，在这个框架里面，定义其他位置相对于一个起始点（这个起始点称作原点 $O$ ）的位置。同一位置，在不同的坐标系下会有不同的坐标，例如你所在城市以经纬度坐标表示，是相对于地球坐标系来给定的，如果从太阳系或者银河系来给定，又会是另外一个不同的值。
常见的坐标系包括:笛卡尔坐标系，极坐标系，球面坐标系等。
如下图所示的我们熟悉的，2D笛卡尔坐标系(来自wiki):
这里写图片描述

如下图所示的熟悉的3D笛卡尔坐标系(来自wiki):
这里写图片描述

定义坐标系

定义一个坐标系需要指定(参考自Objects in Motion):

坐标系的维度 2D, 3D, 4D等等
定义坐标空间轴的向量这些向量成为基向量，他们有名字，例如x,y,z;这些向量一般而言都是正交的，但不一定非得互相正交(只要线性无关即可，后面介绍)，但是每一个维度必须只有一个轴。
坐标系的原点O 原点是导出其他点的参考点。
一个表明空间中点是否合法的区域在此区域之外的点就不再合法。这个区域根据空间不同，可以是无穷的。

这里，维度已由基向量维数确定，合法区域一般是无穷的，但是在图形处理中某些坐标空间是有限的，例如规范化设备空间（后面其他文章会介绍）。作为一个了解，基向量不一定非得正交，如下图所示:
非正交的轴

对于一般情况，我们只需要记住:
坐标系=(基向量，原点 $O$ )

左手坐标系和右手坐标系

对于任意2个2D坐标系，我们通过旋转、移动翻转可以将两个坐标系xy轴的指向相同。

但是对于3D坐标系，任意两个坐标系却不能等价。实际上，存在两种完全不同的3D坐标系：左手坐标系和右手坐标系。如果同属于左手坐标系或者右手坐标系，则可以通过旋转来重合，否则不可以。
判断一个坐标系是否属于右手系，可以拿出右手，然后右手的大拇指代表+x轴指向，食指代表+y轴指向，中指代表+z轴指向，你可以转动你的右手来匹配这个坐标系，如果能匹配则是右手坐标系，否则是左手坐标系。判断左手坐标系的方法类似。如下图所示为判断右手坐标系的方法(来自OpenGL coordinate system):

关于左右手坐标系理解还可以可参考下图(来自《3D数学基础》):

如上右图右手坐标系，这里拇指、食指、其余手指分别代表x,y,z轴的正方向。高等数学教材上使用的是右手坐标系。

旋转正方向的判断

同样还存在一个左手规则和右手规则，可以用于判断当物体绕轴旋转时正方向的判定问题。

对于左手规则，确定一个旋转轴后，左手握成拳头，拇指指向旋转轴的正方向，则其余手指弯曲方向即为旋转的正方向。从旋转轴正向末端来看，正向旋转是顺时针的。对于右手规则，有同样的方法。可参见下图：

左手右手规则在不同场合有着不同作用。上一节，我们使用右手规则判断了叉积的结果向量的方向。

注意OpenGL中坐标系 OpenGL中的物体、世界、照相机坐标系都属于右手坐标系，而规范化设备坐标系使用左手坐标系。笼统地说OpenGL使用右手坐标系是不合适的。这些坐标系后面会介绍。关于这个问题可以参考SO.

坐标

坐标是在指定坐标系中，相对于原点 $O$ 给出的一个位置。这个位置可以用有序实数对表示(有些坐标系中可能使用复数)，注意数对中的数字顺序对结果有影响。上面提到坐标系=(基向量，原点 $O$ )，3D坐标系用向量表示为:
$\begin{cases} i=(a_{x}, b_{y}, b_{z}) \\ j = (b_{x}, b_{y},b_{z}) \\ k =(c_{x},c_{y},c_{z})\end{cases} \tag{基向量}$
$O=(O_{x},O_{y},O_{z})\tag{坐标原点}$
这样在坐标系中一点 $P$ 与原点 $O$ 构成的向量:
$r=\vec{OP}=xi+yj+zk$
这时称 $(x,y,z)$ 为点 $P$ 的坐标，这个坐标也可以表示向量 $\vec{OP}$ .
一般地使用的3D笛卡尔坐标系使用标准基向量和坐标原点：
$\begin{cases} i=(1, 0, 0) \\ j = (0, 1,0) \\ k =(0,0,1)\end{cases} \tag{标准基向量}$
$O=(0,0,0)\tag{标准坐标原点}$ .

从上面可以看到，在一个坐标系中，求取坐标的过程，是一个向量分解的过程。求取一个位置在另一个不同的坐标系中的坐标，则需要进行坐标转换。后面会介绍。

使用坐标系的优势

使用坐标系统便能以解析几何的形式来研究空间几何。通过建立一个坐标系使得空间中点用有序实数组表示，空间图形用方程表示，这样能方便地研究几何图形的性质。

必要基础概念

了解线性变换、仿射变换以及坐标转换，对于后面学习图形编程中的模型变换方法有很大帮助，因此这里予以介绍。要了解这些概念，需要一些其他概念的支撑，这里逐一介绍。每一个概念以定义结合示例的形式给出，如果暂时没有理解清楚，可以暂时跳过，以后回过头来再看或者参考这个主题的其他资料。本部分最后会给出完整的线性变换示例。

向量组的线性组合

向量组是一组向量的集合，例如 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ 表示一个由m个 $n \times 1$ 的矩阵(n维列向量)组成的列向量组。对应的也有行向量组的概念。如果存在一组实数 $\lambda_{1}, \lambda_{2},\cdots,\lambda_{m}$ ，使得向量 $\beta$ 满足下式:
$\beta = \lambda_{1} \alpha_{1} + \lambda_{2} \alpha_{2} + \cdots+\lambda_{m} \alpha_{m} \tag{1}$

则称向量 $\beta$ 是 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ 的线性组合，或者说 $\beta$ 由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ 线性表示。上述求解点 $P$ 坐标时向量 $r$ 分解为向量组 $i,j,k$ 表示的过程，就是一个找出线性表示系数的过程。

向量组线性无关

对于向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ ，如果存在不全为零的数 $\lambda_{1}, \lambda_{2},\cdots,\lambda_{m}$ ，使下面的等式成立:
$\lambda_{1} \alpha_{1} + \lambda_{2} \alpha_{2} + \cdots+\lambda_{m} \alpha_{m} = 0 \tag{2}$
则称向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ 线性相关(linearly dependent), 否则称为线性无关( linearly independent)。也就是要使向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ 线性无关，那么所有的系数 $\lambda_{i}$ 都必须为0。

线性相关的一种几何解释来自math.stackexchange:
假定你有一组向量 $\{{x_{1},x_{2},\cdots,x_{5}}\}$ ，你从某个点出发，沿着 $x_{1}$ 走动一段距离，然后沿着 $x_{2}$ 走动一段距离, 最后沿着 $x_{5}$ 走动一段距离，最终你又回到了出发点（这里表明存在 $\lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} +\lambda_{5} x_{5} = 0$ ,即式2成立）。这就说明 $\{{x_{1},x_{2},\cdots,x_{5}}\}$ 是线性相关的。

当然存在其他方法，判断向量组线性相关性，感兴趣的可以参考线性代数教材。

线性空间的基

向量空间(也叫做线性空间)是对我们经常使用的2D和3D空间一般规律的拓展，它的定义主要反映的是满足一系列的运算规律，例如交换律和结合律等。由于这个定义包含较多规则，不在此列出，感兴趣的可以参考vector space。

如果在线性空间V中存在n个线性无关的向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 使得V中任意元素 $\alpha$ 都能由他们线性表示，则称 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 为V的一个基。基所含向量个数n称为线性空间V的维数，并称V为n维线性空间。

例如2D空间中，二维向量组 $i=(1,0), j=(0,1)$ 是它的一个基；在3D空间中，向量组: $i=(1, 0, 0) , j = (0, 1,0),k =(0,0,1)$ 是它的一个基。类似的可以推广到n维向量空间的基。

向量在基下的坐标

设 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 是n维线性空间V的一个基，若任取 $\alpha \in V$ ，总有且仅有一组有序实数 $x_{1},x_{2},\cdots, x_{n}$ ，使得:
$\alpha = x_{1} \alpha_{1} + x_{2} \alpha_{2} + \cdots + x_{n} \alpha_{n}=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots,\alpha_{n}) \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{bmatrix} \tag{3}$
成立，则称这组有序数 $x_{1},x_{2},\cdots, x_{n}$ 为元素 $\alpha$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 下的坐标，记作 $(x_{1},x_{2},\cdots, x_{n})^{T}$ 。

这里元素 $\alpha$ 用基向量组的线性组合来表示，坐标就是线性组合的系数。例如向量 $a=(3,4)=3e_{1}+4e_{2}$ ，其中 $e_{1}=(1,0),e_{2}=(0,1)$ 为标准基，则a的坐标为 $(3,4)^{T}$ 。

线性变换(Linear Transformations)

变换这个词类似于函数，即将一个定义域里的输入量转化为值域里的另一个值，变换就是一个映射关系，一种规则。线性变换的一些性质对于后续学习3D模型变换时，理解起来将会更容易。

线性变换 $T:U\rightarrow V$ 是一个函数，将定义域U中元素，映射到值域V中，并满足下列两个条件(参考Definition LT):
1)可加性对任意 $u_{1}, u_{2} \in U$ ，都满足: $T(u_{1} + u_{2}) = T(u_{1}) + T(u_{2})$
2)齐次性对任意 $u \in U$ 和任意标量 $k$ ，都满足: $T(ku)=kT(u)$

可以利用上面的两个条件，即可加性和齐次性条件验证一个变换是否是线性变换。
线性变换示例(来自Example ALT)
$T(\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 2x_{1}+x_{3} \\ -4x_{2}\end{bmatrix}$
首先验证其是否满足可加性:

$T (x + y) = T (⎡ ⎣ ⎢ x 1 x 2 x 3 ⎤ ⎦ ⎥ + ⎡ ⎣ ⎢ y 1 y 2 y 3 ⎤ ⎦ ⎥) = (⎡ ⎣ ⎢ x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 +$