51Nod 1376 最长递增子序列的数量(dp+树状数组)

最新推荐文章于 2022-04-05 20:09:54 发布

shiyicode

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分类专栏：动态规划算法刷题之旅文章标签： dp 树状数组 51nod 最长递增子序列

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本文探讨如何优化最大递增子序列计数问题，从传统的O(n^2)复杂度优化至O(nlog(n))。通过使用树状数组或线段树实现快速求和操作，同时重新定义求和意义，以适应题目需求。详细介绍了算法思想、关键代码实现及优化原理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

最长递增子序列的题做过不少，让求数量的还是第一次，O(n^2)的代码很好写，但数据范围50000，故无情超时，想了很久，总算有所得。

时间: O(nlog(n)) 空间: O(2*n)

思路
O(n^2)的思路中，每次求以第i个数结尾的最大长度和记录总数都要对前i－1个数进行遍历比较，如果能把这个比较过程转化为对前i项对求和，就可以用树状数组或线段数进行求和优化了。

    重载＋，按照题目需求重新定义求和意义
    Node operator + (const Node &t) const
    {
        if(this->len < t.len)
            return t;
        if(this->len > t.len)
            return (*this);
        return Node(t.len, (this->cnt + t.cnt) % MOD);

于是有 dp(i) = sum(dp(0, i-1)) + 1;
为什么可以这样呢。我们对序列的数从小到大进行操作，当前数的值等于原有顺序下前面所有数的求和，因为前面比它大的数都还为0尚未更新，不会造成影响，而已更新的数都是比它小的，所以它的值就是前面的求和结果再加1。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAX = 50005;
const int MOD = 1000000007;

struct Node
{
    int len, cnt;
    Node(){}
    Node(int len, int cnt): len(len), cnt(cnt){}
    Node operator + (const Node &t) const
    {
        if(this->len < t.len)
            return t;
        if(this->len > t.len)
            return (*this);
        return Node(t.len, (this->cnt + t.cnt) % MOD);
    }
};

struct Num
{
    int num, pos;
};

Node c[MAX];
Num d[MAX];

bool cmp(Num &a, Num &b)
{
    if(a.num == b.num)
        return a.pos > b.pos;
    return a.num < b.num;
}

void update(Node a,int pos, int n)
{
    for(int i = pos; i <= n; i += i&(-i))
        c[i] = c[i] + a;
}

Node query(int pos)
{
    Node ans(0, 0);
    for(int i = pos-1; i > 0; i -= i&(-i))
        ans = ans + c[i];
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        scanf("%d", &d[i].num);
        d[i].pos = i+1;
    }
    sort(d, d+n, cmp);
    Node ans(0, 0);

    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        Node t = query(d[i].pos);
        if(++t.len == 1) t.cnt = 1;
        ans = ans + t;
        update(t, d[i].pos, n);
    }
    printf("%d\n", ans.cnt);
    return 0;
}