012-矩阵链相乘-动态规划-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记

给定一个矩阵序列M₁M₂...M_n，计算乘积M₁M₂...M_n。要求找出一个放置括号的方式，使得标量乘法的次数最小。

 

蛮力方法：

1. 列举所有加括号的方法：

将矩阵分为两部分。

 

如果前k个矩阵有f(k)种方法，n-k个矩阵有f(n-k)种方法，则有下面的递推式。

 

对前几种情况，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2。

我们可以继续推出下面的式子：

 

由此产生卡特兰数（Catalan）：

 

可以算出：

 

2. 总的时间：

每个表达式次数的计算耗费Θ(n)，总的时间是：

 

耗费是非常大的。

 

动态规划解法：

利用动态规划解决该问题，可以在Θ(n³)的时间和Θ(n²)的空间内找出答案。

 

基本思路：

对于矩阵链，我们只对各个矩阵的行数和列数感兴趣，于是，矩阵链可以简化成一个长度为n+1的一维数组r₁r₂...r_n+1，前n个数表示矩阵的行数，第n+1个数表示矩阵n的列数。

对于矩阵M_i...M_j的乘法次数的计算，我们可以分成两部分M_i...M_k-1和M_k...M_j，它的耗费是前一个矩阵的耗费加上后一个矩阵的耗费，再加上前后两个矩阵相乘的耗费r_ir_kr_j+1。

于是有下面的递推式：

 

于是对矩阵序列M₁M₂...M_n的乘法，我们可以通过下面的递推式求解出最小次数：

 

这就是状态转移方程了。

然后是初始化条件：C[i,i]=0。

看下面的图示：

 

动态规划的过程就是从左下角推到右上角的过程。

 

伪代码：