登封造极之数论——闯入模世界

基本问题：ax+by=gcd（a,b)

关键点：a^-1（a的模逆元）*a=1（mod b），只要解出a的逆元，问题就可以迎刃而解了。

原理1：费马小定理：a^p(p是质数）=a（mod p）

         变形：a^(p-1)=1(mod p)

                a^(p-2)*a=1(mod p)

         所以：a^-1=a^(p-2)(mod p)

         设p为一很大的质数，快速幂求解。

原理2：拓展欧几里得算法：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

         又：gcd（a,b)=ax+by

              gcd(b,a%b)=b*x1+(a-a/b*b(取整))*y1

                         =a*y1+b*(x1-a/b*y1)

          所以：x=y1

                  y=x1-a/b*y1

          递归求解。

参考程序：

#include<cstdio>
#define oo 2147483647
int a,b,x,y;
int exgcd (int a,int b,int &x,int &y){
	if (b==0){
		x=1;y=0;return a;
	}else{
		int d=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
		return d;
	}
}
int ksm(int x,int ex){
	if (ex==1)return x;
	int k=ksm(x,ex/2)%b;
	return ((k*k)%b*(ex%2==1?x:1))%b;
}
int main(){
	scanf("%d %d",&a,&b);
	int k=exgcd(a,b,x,y),n=b;
	printf("%d\n",(x+n)%n);
	int t=ksm(a,oo-2);
	printf("%d",t);
	return 0;
}