【JZOJ 4586】Ned 的难题

最新推荐文章于 2018-05-16 21:52:07 发布

HOWARLI

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分类专栏：数论文章标签：数论 GCD

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本文提出了一种高效的算法优化方案，通过逆向暴力法处理数组，并利用并查集或指针实现快速跳转，将复杂度从O(n^2)降低至O(nlog_2(n))。该方法适用于求解特定数学问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

这里写图片描述

Solution

先来搞一个反过来的暴力：
设当前处理到第i个， $b_{j (j<=i)}$ 为 $\gcd(a_j,a_{j+1}...,a_i)$ ，
现在再往后处理一个，那么

a n s = a n s * a i + 1 * \prod j = 1 i gcd (b j, a i + 1)

$ans=ans*a_{i+1}*\prod_{j=1}^i\gcd(b_j,a_{i+1})$ ，
b数组随之更新：

bj=gcd(bj,ai+1) $b_j=\gcd(b_j,a_{i+1})$ ，
复杂度：

O(n2) $O(n^2)$ ；
我们发现，对于每一个i，

bi $b_i$ ~

b1 $b_1$ 都是不上升的，而且每次减小至少都是/2，所有最多有

log2(n) $\log_2(n)$ 种，
还有，如果当前已经有一串数是相同的，无论i如何增加，这串数依旧是相同的，只是可能会整体减小，
这意味着会越来越多的数将会相同，也就是可以直接用快速幂跳过，
跳可以用并查集或者指针，
复杂度：

O(nlog2(n)) $O(n\log_2(n))$

Code

速度还不错~
这里写图片描述

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=50500,mo=1e9+9;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int n;
LL a[N],b[N],ans;
int c[N];
int gcd(int a,int b)
{
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}
LL ksm(LL q,LL w)
{
    q%=mo;LL ans=1;
    while(w)
    {
        if(w&1)ans=(ans*q)%mo;
        q=(q*q)%mo;
        w>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    freopen("ned.in","r",stdin);
    freopen("ned.out","w",stdout);
    int Q;LL q;
    read(n);
    fo(i,1,n)a[i]=b[i]=read(Q),c[i]=i;
    ans=a[1];
    fo(i,2,n)
    {
        ans=ans*a[i]%mo;
        int j1=i;
        for(int j=i-1;j;j=c[j]-1)
        {
            b[j]=gcd(b[j],b[j1]);
            if(b[j]==b[j1])
            {
                c[j1]=c[j];
            }
            ans=ans*ksm(b[j],(j-c[j]+1))%mo;
            j1=j;
        }

    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}